Упр.22 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

В современных смартфонах используются процессоры, в которых на $$1\ \text{мм}^2$$ приходится $$125\ \text{млн}$$ транзисторов. Сколько квадратных сантиметров составляет площадь, занимаемая одним транзистором? Ответ запишите в стандартном виде.
Выполняется ли данное неравенство при любых значениях $$a$$ и $$b$$:
1. $$\frac{a^2-b^2}{a^2+1}>1$$;
2. $$\frac{a^2-b^2}{b^2+1}>-1$$?

Подробный ответ

1) Площадь одного транзистора равна

$$S=\frac{1}{125\,000\,000}\text{ мм}^2.$$

Так как $$1\text{ мм}^2=10^{-2}\text{ см}^2,$$ получаем

$$S=\frac{1}{125\cdot 10^6}\cdot 10^{-2}\text{ см}^2=\frac{1}{125}\cdot 10^{-8}\text{ см}^2=8\cdot 10^{-11}\text{ см}^2.$$

2) Проверим неравенство

$$\frac{a^2-b^2}{a^2+1}>1.$$

Перенесём 1 в левую часть:

$$\frac{a^2-b^2}{a^2+1}-1>0,$$

$$\frac{a^2-b^2-a^2-1}{a^2+1}>0,$$

$$\frac{-b^2-1}{a^2+1}>0.$$

Числитель $$-b^2-1<0,$$ а знаменатель $$a^2+1>0,$$ значит дробь всегда отрицательна. Следовательно, неравенство не выполняется ни при каких значениях $$a$$ и $$b$$.

3) Проверим неравенство

$$\frac{a^2-b^2}{b^2+1}>-1.$$

Перенесём $$-1$$ в левую часть:

$$\frac{a^2-b^2}{b^2+1}+1>0,$$

$$\frac{a^2-b^2+b^2+1}{b^2+1}>0,$$

$$\frac{a^2+1}{b^2+1}>0.$$

Числитель и знаменатель положительны при любых $$a$$ и $$b$$, значит неравенство выполняется всегда.