Упр.218 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Площадь прямоугольника равна $$180\ \text{см}^2$$. Если одну его сторону уменьшить на $$3\ \text{см}$$, а вторую — на $$2\ \text{см}$$, то его площадь станет равной $$120\ \text{см}^2$$. Найдите исходные размеры прямоугольника.
2. При каких значениях $$a$$ один из корней уравнения $$3x^2-(2a+5)x+2+a-a^2=0$$ меньше $$-2$$, а другой — больше $$3$$?

Обозначим стороны прямоугольника через $$x$$ и $$y$$.

Тогда по условию:

$$xy=180,$$

а после уменьшения сторон получаем:

$$(x-3)(y-2)=120.$$

Подставим $$y=\dfrac{180}{x}$$ во второе уравнение:

$$(x-3)\left(\frac{180}{x}-2\right)=120.$$

Раскроем скобки и умножим на $$x$$:

$$180-2x-540+6=120?$$

Удобнее сразу преобразовать:

$$xy-2x-3y+6=120,$$

$$180-2x-3\cdot \frac{180}{x}+6=120,$$

$$180-2x-\frac{540}{x}+6=120,$$

$$2x+\frac{540}{x}=66.$$

Умножим на $$x$$:

$$2x^2-66x+540=0,$$

$$x^2-33x+270=0.$$

Найдём корни:

$$D=33^2-4\cdot 270=1089-1080=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{33\pm 3}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=15,\quad x_2=18.$$

Тогда

$$y_1=\frac{180}{15}=12,\quad y_2=\frac{180}{18}=10.$$

Значит, исходные размеры прямоугольника: $$15$$ см и $$12$$ см или $$18$$ см и $$10$$ см.

Теперь решим уравнение

$$3x^2-(2a+5)x+2+a-a^2=0.$$

Пусть его корни $$x_1$$ и $$x_2$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=\frac{2a+5}{3},\qquad x_1x_2=\frac{2+a-a^2}{3}.$$

Нужно, чтобы один корень был меньше $$-2$$, а другой больше $$3$$. Для этого достаточно и необходимо, чтобы

$$f(-2)<0,\qquad f(3)<0,$$

где $$f(x)=3x^2-(2a+5)x+2+a-a^2.$$

Вычислим:

$$f(-2)=3\cdot 4-(2a+5)(-2)+2+a-a^2=-a^2+5a+20,$$

$$f(3)=27-3(2a+5)+2+a-a^2=-a^2-5a+14.$$

Тогда

$$-a^2+5a+20<0,$$

$$-a^2-5a+14<0.$$

Умножим на $$-1$$, изменив знаки неравенств:

$$a^2-5a-20>0,$$

$$a^2+5a-14>0.$$

Разложим на множители:

$$a^2-5a-20=(a-?)(a-?)$$

Удобнее найти корни:

$$a=\frac{5\pm \sqrt{105}}{2},\qquad a=-7,\ 2.$$

Тогда

$$a^2+5a-14=(a+7)(a-2)>0,$$

откуда

$$a<-7 \quad \text{или} \quad a>2.$$

Совмещая условия, получаем:

$$a\in(-\infty;-7)\cup(8;+\infty).$$

Ответ

$$15\text{ см и }12\text{ см; }18\text{ см и }10\text{ см;}$$

$$a\in(-\infty;-7)\cup(8;+\infty).$$