Упр.217 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Периметр прямоугольного треугольника равен 40 см, а один из катетов — 8 см. Найдите второй катет треугольника и его гипотенузу. При каких значениях а корни уравнения х^2 — (4а — 2)х + 3а^2 — 4а + 1 = 0 принадлежат промежутку [-2; 8]?

1) Обозначим второй катет через $$x$$, а гипотенузу — через $$y$$. Тогда по условию периметр равен $$40$$ см:

$$x+y+8=40,$$

откуда

$$x+y=32,\qquad y=32-x.$$

По теореме Пифагора:

$$x^2+8^2=y^2,$$

$$x^2+64=(32-x)^2.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+64=1024-64x+x^2,$$

$$64x=960,$$

$$x=15.$$

Тогда

$$y=32-15=17.$$

2) Найдём, при каких значениях $$a$$ корни уравнения

$$x^2-(4a-2)x+3a^2-4a+1=0$$

принадлежат промежутку $$[-2;8]$$.

Вычислим дискриминант:

$$D=(4a-2)^2-4(3a^2-4a+1)=16a^2-16a+4-12a^2+16a-4=4a^2.$$

Тогда корни уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{4a-2\pm 2a}{2},$$

то есть

$$x_1=3a-1,\qquad x_2=a-1.$$

Оба корня должны принадлежать промежутку $$[-2;8]$$:

$$-2\le 3a-1\le 8,$$

$$-2\le a-1\le 8.$$

Из первого неравенства получаем:

$$-1\le 3a\le 9,$$

$$-\frac13\le a\le 3.$$

Из второго:

$$-1\le a\le 9.$$

Пересечение этих промежутков:

$$a\in\left[-\frac13;3\right].$$

Ответ

$$15\text{ см},\ 17\text{ см};\quad a\in\left[-\frac13;3\right].$$