Упр.216 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его площадь — 30 см^2. Найдите катеты этого треугольника. При каких значениях а корни уравнения x^2 — 2aх + а^2 — 4 = 0 меньше числа 5?

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $$x$$ и $$y$$.

Тогда по условию площади:

$$\frac{1}{2}xy=30,$$

откуда

$$xy=60.$$

По теореме Пифагора:

$$x^2+y^2=13^2=169.$$

Подставим $$y=\frac{60}{x}$$:

$$x^2+\frac{3600}{x^2}=169.$$

Умножим на $$x^2$$:

$$x^4-169x^2+3600=0.$$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$t^2-169t+3600=0.$$

Найдём корни:

$$D=169^2-4\cdot 3600=28561-14400=14161,$$

$$\sqrt{D}=119.$$

Тогда

$$t_1=\frac{169-119}{2}=25,\qquad t_2=\frac{169+119}{2}=144.$$

Значит,

$$x^2=25 \Rightarrow x=5,$$

$$x^2=144 \Rightarrow x=12.$$

Соответственно, второй катет равен

$$y=\frac{60}{5}=12 \quad \text{или} \quad y=\frac{60}{12}=5.$$

Следовательно, катеты треугольника равны $$5$$ см и $$12$$ см.

Теперь решим уравнение

$$x^2-2ax+a^2-4=0.$$

Преобразуем:

$$\left(x-a\right)^2=4,$$

откуда

$$x_1=a-2,\qquad x_2=a+2.$$

По условию оба корня должны быть меньше числа $$5$$:

$$a-2<5,$$

$$a+2<5.$$

Получаем:

$$a<7,$$

$$a<3.$$

Оба неравенства должны выполняться одновременно, значит

$$a<3.$$

Ответ

$$5\text{ см и }12\text{ см};\quad a\in(-\infty;3).$$