Упр.212 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. К сплаву меди и цинка, содержавшему меди на 12 кг больше, чем цинка, добавили 6 кг меди. Вследствие этого процентное содержание цинка в сплаве снизилось на 5 процентных пунктов. Сколько килограммов цинка и сколько килограммов меди содержал сплав первоначально?
2. При каких значениях $$a$$ множество решений системы неравенств $$\begin{cases}x\ge 7,\\x

Пусть первоначально в сплаве было $$x$$ кг цинка. Тогда меди было $$x+12$$ кг.

После добавления $$6$$ кг меди стало:

цинка — $$x$$ кг, меди — $$x+18$$ кг, всего $$2x+18$$ кг.

По условию процентное содержание цинка уменьшилось на $$5$$ процентных пунктов, значит:

$$\frac{x}{2x+12}=\frac{x}{2x+18}+\frac{5}{100}.$$

Умножим на $$100(2x+12)(2x+18)$$:

$$100x(2x+18)=100x(2x+12)+5(2x+12)(2x+18).$$

Упростим:

$$200x^2+1800x=200x^2+1200x+5(4x^2+60x+216),$$
$$200x^2+1800x=200x^2+1200x+20x^2+300x+1080,$$
$$20x^2-300x+1080=0,$$
$$x^2-15x+54=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=15^2-4\cdot 54=225-216=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{15\pm 3}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=6,\qquad x_2=9.$$

Тогда меди было:

$$6+12=18 \text{ кг},\qquad 9+12=21 \text{ кг}.$$

Ответ

Первоначально сплав содержал $$6$$ кг цинка и $$18$$ кг меди или $$9$$ кг цинка и $$21$$ кг меди.

Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} x \ge 7,\\ x < a. \end{cases}$$

Чтобы множество решений содержало ровно четыре целых числа, нужно, чтобы целые числа $$7,8,9,10$$ входили в решение, а $$11$$ уже не входило.

Значит,

$$10 < a \le 11.$$

Ответ

$$a \in (10;11].$$