Упр.212 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

система
х >= 7,
х < а содержит ровно четыре целых числа?

Пусть первоначально в сплаве было $$x$$ кг цинка. Тогда меди было $$x+12$$ кг.

После добавления $$6$$ кг меди стало:

цинка — $$x$$ кг, меди — $$x+18$$ кг, всего $$2x+18$$ кг.

По условию процентное содержание цинка уменьшилось на $$5$$ процентных пунктов, значит:

$$ \frac{x}{2x+12}=\frac{x}{2x+18}+\frac{5}{100}. $$

Умножим на $$100(2x+12)(2x+18)$$:

$$ 100x(2x+18)=100x(2x+12)+5(2x+12)(2x+18). $$

Упростим:

$$ 200x^2+1800x=200x^2+1200x+5(4x^2+60x+216), $$
$$ 200x^2+1800x=200x^2+1200x+20x^2+300x+1080, $$
$$ 20x^2-300x+1080=0, $$
$$ x^2-15x+54=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=15^2-4\cdot 54=225-216=9, $$
$$ x_{1,2}=\frac{15\pm 3}{2}. $$

Получаем:

$$ x_1=6,\qquad x_2=9. $$

Тогда меди было:

$$ 6+12=18 \text{ кг},\qquad 9+12=21 \text{ кг}. $$

Ответ

Первоначально сплав содержал $$6$$ кг цинка и $$18$$ кг меди или $$9$$ кг цинка и $$21$$ кг меди.

Ход решения

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x \ge 7,\\ x < a. \end{cases} $$

Чтобы множество решений содержало ровно четыре целых числа, нужно, чтобы целые числа $$7,8,9,10$$ входили в решение, а $$11$$ уже не входило.

Значит,

$$ 10 < a \le 11. $$

Ответ

$$ a \in (10;11]. $$