Упр.21 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Аттосекунда — это одна миллиардная миллиардной доли секунды. С помощью современных лазерных установок учёные получили световые импульсы, длящиеся 250 аттосекунд. Выразите эту величину в секундах и запишите ответ в стандартном виде. Докажите, что сумма любых двух взаимно обратных отрицательных чисел не больше чем -2.

$$250\ \text{ас}=250\cdot \frac{1}{10^9}\cdot \frac{1}{10^9}\ \text{с}$$

$$250\ \text{ас}=250\cdot 10^{-18}\ \text{с}=2{,}5\cdot 10^{-16}\ \text{с}$$

Пусть $$a<0$$ — одно из взаимно обратных отрицательных чисел. Тогда второе число равно $$\frac{1}{a}<0$$.

Докажем, что

$$a+\frac{1}{a}\le -2.$$

Перенесём $$-2$$ в левую часть:

$$a+\frac{1}{a}+2\le 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a^2+2a+1}{a}\le 0.$$

Так как $$a^2+2a+1=(a+1)^2,$$ то

$$\frac{(a+1)^2}{a}\le 0.$$

Числитель $$ (a+1)^2\ge 0,$$ а знаменатель $$a<0,$$ значит, дробь не положительна. Следовательно,

$$a+\frac{1}{a}\le -2.$$

Ответ: $$2{,}5\cdot 10^{-16}\ \text{с};\quad a+\frac{1}{a}\le -2.$$