Упр.209 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Турист проплыл $$\frac{5}{8}$$ всего пути на катере, а остальную часть проехал на автомобиле. Скорость автомобиля на 20 км/ч больше скорости катера. На автомобиле он ехал на 1 ч 30 мин меньше, чем плыл на катере. Найдите скорость автомобиля и скорость катера, если всего турист преодолел 160 км.
2. При каких значениях $$a$$ множеством решений системы неравенств $$\begin{cases}x>-1,\\x\geqslant a\end{cases}$$ является промежуток: 1) $$(-1;+\infty)$$; 2) $$[1;+\infty)$$?

Пусть $$x$$ км/ч — скорость катера, тогда скорость автомобиля равна $$x+20$$ км/ч.

Турист проплыл на катере $$\frac{5}{8}\cdot 160=100$$ км, а на автомобиле проехал $$160-100=60$$ км.

По условию на автомобиле он ехал на $$1\text{ ч }30\text{ мин}=\frac{3}{2}$$ ч меньше, чем плыл на катере. Составим уравнение:

$$\frac{100}{x}=\frac{60}{x+20}+\frac{3}{2}.$$

Умножим обе части на $$2x(x+20)$$:

$$200(x+20)=120x+3x(x+20).$$

$$200x+4000=120x+3x^2+60x.$$

$$3x^2-20x-4000=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-20)^2-4\cdot 3\cdot(-4000)=400+48000=48400,$$

$$\sqrt{D}=220.$$

$$x=\frac{20\pm 220}{6}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{20-220}{6}=-\frac{100}{3}, \qquad x_2=\frac{20+220}{6}=40.$$

Отрицательный корень не подходит, значит, скорость катера равна $$40$$ км/ч, а скорость автомобиля:

$$40+20=60$$ км/ч.

Рассмотрим систему неравенств

$$\begin{cases} x>-1,\\ x\ge a. \end{cases}$$

Множество решений системы — пересечение промежутков $$(-1;+\infty)$$ и $$[a;+\infty)$$.

1) Чтобы множество решений было $$(-1;+\infty)$$, нужно, чтобы второе неравенство не ограничивало решения сильнее первого. Тогда

$$a\le -1.$$

2) Чтобы множество решений было $$[1;+\infty)$$, нужно, чтобы

$$a=1.$$

Ответ

$$60\text{ км/ч};\ 40\text{ км/ч}.$$

1) $$a\le -1$$; 2) $$a=1$$.