Упр.207 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) система
х >= 3,
х < а; 2) система х <= 3, x >= а?

Подробный ответ

Пусть $$x$$ км/ч — скорость туриста по озеру. Тогда по течению реки он плыл со скоростью $$x+2$$ км/ч, а против течения — со скоростью $$x-2$$ км/ч.

По условию время в обоих случаях одинаково, значит:

$$\frac{4}{x}+\frac{5}{x+2}=\frac{6}{x-2}.$$

Умножим обе части на $$x(x+2)(x-2)$$:

$$4(x^2-4)+5x(x-2)=6x(x+2)$$
$$4x^2-16+5x^2-10x=6x^2+12x$$
$$9x^2-10x-16=6x^2+12x$$
$$3x^2-22x-16=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-22)^2-4\cdot 3\cdot(-16)=484+192=676,$$
$$x_{1,2}=\frac{22\pm 26}{6}.$$

$$x_1=\frac{48}{6}=8,\qquad x_2=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}.$$

Так как скорость не может быть отрицательной, подходит только $$x=8$$.

Теперь рассмотрим системы неравенств.

$$\begin{cases}x\ge 3,\\ x<a.\end{cases}$$
Чтобы система имела хотя бы одно решение, промежутки $$[3;+\infty)$$ и $$(-\infty;a)$$ должны пересекаться. Это возможно при $$a>3$$.
$$\begin{cases}x\le 3,\\ x\ge a.\end{cases}$$
Чтобы система имела хотя бы одно решение, промежутки $$(-\infty;3]$$ и $$[a;+\infty)$$ должны пересекаться. Это возможно при $$a\le 3$$.