Упр.206 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
Объём куска первого металла на 10 см^3 меньше объёма второго, а плотность первого — на 2 г/см^3 больше плотности второго.
Найдите плотность каждого металла. Решите неравенство:
1) |x — 6| >= 2,4;
2) |5x + 8| <= 2;
3) |х + 5| - Зх > 4;
4) |х — 1| + x <= 3.
Обозначим плотность первого металла через $$x$$, а второго — через $$y$$.
По условию:
$$x-y=2,$$
значит
$$y=x-2.$$
Масса равна произведению плотности на объём, поэтому для первого и второго кусков получаем:
$$\frac{336}{x}=\frac{320}{y}+10.$$
Подставим $$y=x-2$$:
$$\frac{336}{x}=\frac{320}{x-2}+10.$$
Умножим на $$x(x-2)$$:
$$336(x-2)=320x+10x(x-2).$$
$$336x-672=320x+10x^2-20x.$$
$$10x^2-4x-672=0.$$
Разделим на $$2$$:
$$5x^2-2x-336=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot(-336)=4+6720=6724,$$
$$\sqrt{D}=82.$$
Тогда
$$x=\frac{2\pm 82}{10}.$$
Получаем:
$$x_1=-8,\quad x_2=8{,}4.$$
Отрицательное значение не подходит, значит
$$x=8{,}4.$$
Тогда
$$y=x-2=6{,}4.$$
Следовательно, плотности металлов равны $$8{,}4\ \text{г/см}^3$$ и $$6{,}4\ \text{г/см}^3$$.
Решим неравенства.
1) $$|x-6|\ge 2{,}4$$
$$x-6\ge 2{,}4 \quad \text{или} \quad x-6\le -2{,}4.$$
$$x\ge 8{,}4 \quad \text{или} \quad x\le 3{,}6.$$
$$x\in(-\infty;3{,}6]\cup[8{,}4;+\infty).$$
2) $$|5x+8|\le 2$$
$$-2\le 5x+8\le 2.$$
$$-10\le 5x\le -6.$$
$$-2\le x\le -1{,}2.$$
$$x\in[-2;-1{,}2].$$
3) $$|x+5|-3x>4$$
$$|x+5|>3x+4.$$
Рассмотрим два случая:
$$x+5>3x+4 \quad \Rightarrow \quad 2x<1 \quad \Rightarrow \quad x<0{,}5,$$
$$x+5<-3x-4 \quad \Rightarrow \quad 4x<-9 \quad \Rightarrow \quad x<-2{,}25.$$
Объединяя, получаем:
$$x\in(-\infty;0{,}5).$$
4) $$|x-1|+x\le 3$$
$$|x-1|\le 3-x.$$
Правая часть должна быть неотрицательной, значит $$x\le 3$$.
Рассмотрим случаи:
$$x-1\le 3-x \quad \Rightarrow \quad 2x\le 4 \quad \Rightarrow \quad x\le 2,$$
$$-(x-1)\le 3-x \quad \Rightarrow \quad -1\le 3,$$
что верно при всех $$x$$, удовлетворяющих условию $$x\le 3$$.
Итак,
$$x\in(-\infty;2].$$
Ответ
Плотности металлов: $$8{,}4\ \text{г/см}^3$$ и $$6{,}4\ \text{г/см}^3$$.
1) $$(-\infty;3{,}6]\cup[8{,}4;+\infty)$$
2) $$[-2;-1{,}2]$$
3) $$(-\infty;0{,}5)$$
4) $$(-\infty;2]$$
