Упр.203 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) (х — 3)(х + 4) <= 0;
2) (х + 1)(2х - 7) > 0;
3) (x — 8)/(x — 1) > 0;
4) (3x + 6)/(x — 9) < 0;
5) (2x - 1)/(x + 2) <= 0;
6) (5x + 4)/(x - 6) >= 0.
1) Пусть первоначальная скорость поезда равна $$x$$ км/ч. Тогда время на участке в $$80$$ км до увеличения скорости было бы $$\frac{80}{x}$$ ч, а после увеличения скорости на $$16$$ км/ч — $$\frac{80}{x+16}$$ ч.
По условию поезд опаздывал на $$10$$ мин, то есть на $$\frac{1}{6}$$ ч, значит:
$$\frac{80}{x}-\frac{80}{x+16}=\frac{1}{6}.$$
Умножим на $$6x(x+16)$$:
$$480(x+16)-480x=x(x+16),$$
$$480x+7680-480x=x^2+16x,$$
$$x^2+16x-7680=0.$$
Найдём корни:
$$D=16^2+4\cdot 7680=30976,$$
$$\sqrt{D}=176.$$
Тогда
$$x=\frac{-16\pm 176}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=-96,\quad x_2=80.$$
Скорость не может быть отрицательной, значит $$x=80$$ км/ч.
2) $$ (x-3)(x+4)\le 0 $$
Нули: $$x=-4$$ и $$x=3$$. Произведение не положительно между корнями, включая их:
$$x\in[-4;3].$$
3) $$ (x+1)(2x-7)>0 $$
Нули: $$x=-1$$ и $$x=\frac{7}{2}.$$ Произведение положительно вне промежутка между корнями:
$$x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac{7}{2};+\infty\right).$$
4) $$ \frac{x-8}{x-1}>0 $$
Критические точки: $$x=1$$ и $$x=8.$$ Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:
$$x\in(-\infty;1)\cup(8;+\infty).$$
5) $$ \frac{3x+6}{x-9}<0 $$
$$3x+6=3(x+2),$$ поэтому критические точки: $$x=-2$$ и $$x=9.$$ Дробь отрицательна между ними:
$$x\in(-2;9).$$
6) $$ \frac{2x-1}{x+2}\le 0 $$
Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=\frac{1}{2}.$$ Дробь неположительна на промежутке между ними, причём точка $$x=\frac{1}{2}$$ входит, а $$x=-2$$ не входит:
$$x\in\left(-2;\frac{1}{2}\right].$$
Ответ
1) $$80$$ км/ч; 2) $$[-4;3]$$; 3) $$(-\infty;-1)\cup\left(\frac{7}{2};+\infty\right)$$; 4) $$(-\infty;1)\cup(8;+\infty)$$; 5) $$(-2;9)$$; 6) $$\left(-2;\frac{1}{2}\right].$$
