Упр.202 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Найдите неизвестные стороны треугольника, если длина каждой из них равна целому числу сантиметров.

Обозначим неизвестные стороны прямоугольника через $$x$$ и $$y$$.

По условию периметр равен $$32$$ см, значит

$$2x+2y=32,$$

откуда

$$x+y=16,\quad y=16-x.$$

Сумма площадей квадратов, построенных на этих сторонах, равна $$130$$ см²:

$$x^2+y^2=130.$$

Подставим $$y=16-x$$:

$$ x^2+(16-x)^2=130 $$

$$ x^2+256-32x+x^2=130 $$

$$ 2x^2-32x+126=0 $$

$$ x^2-16x+63=0 $$

$$ D=16^2-4\cdot 63=256-252=4 $$

$$ x=\frac{16\pm 2}{2} $$

$$ x_1=7,\quad x_2=9 $$

Тогда

$$ y_1=16-7=9,\quad y_2=16-9=7 $$

Следовательно, стороны прямоугольника равны $$7$$ см и $$9$$ см.

Теперь рассмотрим треугольник. Пусть две неизвестные стороны равны $$x$$ и $$8-x$$, а третья сторона равна $$4$$ см.

По неравенству треугольника:

$$ 4+x>8-x $$

$$ 2x>4 $$

$$ x>2 $$

и

$$ 4+(8-x)>x $$

$$ 12-x>x $$

$$ 12>2x $$

$$ x<6 $$

Значит, $$2<x<6$$. Так как длины сторон — целые числа, получаем $$x=3,4,5$$.

Тогда неизвестные стороны треугольника могут быть равны:

$$3\text{ см и }5\text{ см}$$

или

$$4\text{ см и }4\text{ см}.$$

Ответ

Прямоугольник: $$7$$ см и $$9$$ см. Треугольник: $$3$$ см и $$5$$ см или $$4$$ см и $$4$$ см.