Упр.202 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Периметр прямоугольника равен $$32\ \text{см}$$, а сумма площадей квадратов, построенных на двух его соседних сторонах, — $$130\ \text{см}^2$$. Найдите стороны прямоугольника.
2. Одна сторона треугольника равна $$4\ \text{см}$$, а сумма двух других — $$8\ \text{см}$$. Найдите неизвестные стороны треугольника, если длина каждой из них равна целому числу сантиметров.

Обозначим неизвестные стороны прямоугольника через $$x$$ и $$y$$.

По условию периметр равен $$32$$ см, значит

$$2x+2y=32,$$

откуда

$$x+y=16,\quad y=16-x.$$

Сумма площадей квадратов, построенных на этих сторонах, равна $$130$$ см²:

$$x^2+y^2=130.$$

Подставим $$y=16-x$$:

$$x^2+(16-x)^2=130$$

$$x^2+256-32x+x^2=130$$

$$2x^2-32x+126=0$$

$$x^2-16x+63=0$$

$$D=16^2-4\cdot 63=256-252=4$$

$$x=\frac{16\pm 2}{2}$$

$$x_1=7,\quad x_2=9$$

Тогда

$$y_1=16-7=9,\quad y_2=16-9=7$$

Следовательно, стороны прямоугольника равны $$7$$ см и $$9$$ см.

Теперь рассмотрим треугольник. Пусть две неизвестные стороны равны $$x$$ и $$8-x$$, а третья сторона равна $$4$$ см.

По неравенству треугольника:

$$4+x>8-x$$

$$2x>4$$

$$x>2$$

и

$$4+(8-x)>x$$

$$12-x>x$$

$$12>2x$$

$$x<6$$

Значит, $$2<x<6$$. Так как длины сторон — целые числа, получаем $$x=3,4,5$$.

Тогда неизвестные стороны треугольника могут быть равны:

$$3\text{ см и }5\text{ см}$$

или

$$4\text{ см и }4\text{ см}.$$

Ответ

Прямоугольник: $$7$$ см и $$9$$ см. Треугольник: $$3$$ см и $$5$$ см или $$4$$ см и $$4$$ см.