Упр.20 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Фемтосекунда — это одна миллионная миллиардной доли секунды, взаимодействие света с пигментами сетчатой оболочки глаза (этот процесс позволяет видеть окружающий мир) длится около 200 фемтосекунд. Выразите эту величину в секундах и запишите ответ в стандартном виде. Докажите, что сумма любых двух взаимно обратных положительных чисел не меньше чем 2.

1 фемтосекунда — это $$10^{-15}$$ с, значит

$$200\ \text{фс}=200\cdot 10^{-15}\ \text{с}=2\cdot 10^{-13}\ \text{с}.$$

Докажем, что для любого положительного числа $$a$$ выполняется неравенство

$$a+\frac{1}{a}\ge 2.$$

Так как $$a>0$$, умножим неравенство на $$a$$:

$$a^2+1\ge 2a.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a^2-2a+1\ge 0.$$

Получаем

$$\left(a-1\right)^2\ge 0.$$

Квадрат любого числа неотрицателен, значит неравенство верно.

Ответ

$$2\cdot 10^{-13}\ \text{с};\quad a+\frac{1}{a}\ge 2.$$