Упр.198 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Один говорит другому: «Дай мне $$7$$ динариев, и я буду в $$5$$ раз богаче тебя». А другой говорит: «Дай мне $$5$$ динариев, и я буду в $$7$$ раз богаче тебя». Сколько денег у каждого?
2. Решите неравенство:
   1) $$-3 < \frac{2x-5}{2} < 4$$;
   2) $$-4 \leq 1-\frac{x-2}{3} \leq -3$$.

Обозначим через $$x$$ число динариев у первого, а через $$y$$ — у второго.

По условию, если первый отдаст второму $$7$$ динариев, то у него останется $$x-7$$, а у второго станет $$y+7$$. Тогда

$$\frac{x-7}{y+7}=5.$$

Если второй отдаст первому $$5$$ динариев, то у него останется $$y-5$$, а у первого станет $$x+5$$. Тогда

$$\frac{y-5}{x+5}=7.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x-7=5(y+7),\\ y-5=7(x+5). \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$x=5y+42.$$

Из второго уравнения:

$$y=7x+40.$$

Подставим $$x=5y+42$$ во второе уравнение:

$$y=7(5y+42)+40$$

$$y=35y+294+40$$

$$34y=-334$$

$$y=-\frac{167}{17}.$$

Тогда

$$x=5\left(-\frac{167}{17}\right)+42=-\frac{835}{17}+\frac{714}{17}=-\frac{121}{17}.$$

Теперь решим неравенства.

1) $$-3<\frac{2x-5}{2}<4$$

$$-6<2x-5<8$$

$$-1<2x<13$$

$$-\frac12<x<\frac{13}{2}$$

2) $$-4\le 1-\frac{x-2}{3}\le -3$$

$$-5\le -\frac{x-2}{3}\le -4$$

Умножим на $$-3$$, меняя знаки неравенств:

$$15\ge x-2\ge 12$$

$$12\le x-2\le 15$$

$$14\le x\le 17$$

Ответ

Первый: $$-\frac{121}{17}$$ динария, второй: $$-\frac{167}{17}$$ динария; 1) $$x\in\left(-\frac12;\frac{13}{2}\right)$$; 2) $$x\in[14;17]$$.