Упр.196 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Сократите дробь:
1) $$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$;
2) $$\frac{7\sqrt{3}-21}{14\sqrt{3}}$$;
3) $$\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x-y}$$. - Найдите область определения выражения:
1) $$\sqrt{6x-9}+\sqrt{2x-5}$$;
2) $$\sqrt{3x+5}-\frac{1}{\sqrt{15-5x}}$$;
3) $$\sqrt{2x-4}+\sqrt{1-x}$$;
4) $$\sqrt{12-3x}-\frac{5}{x-4}$$.
1) Сократим дробь:
$$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1.$$
2) Сократим дробь:
$$\frac{7\sqrt{3}-21}{14\sqrt{3}}=\frac{7(\sqrt{3}-3)}{14\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}}.$$
Рационализуем знаменатель:
$$\frac{\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}-3)\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{3-3\sqrt{3}}{6}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}.$$
3) Сократим дробь:
$$\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x-y}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\frac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.$$
Найдём область определения выражений.
1) $$\sqrt{6x-9}+\sqrt{2x-5}$$
Требуется:
$$6x-9\ge 0,\qquad 2x-5\ge 0.$$
Отсюда:
$$x\ge \frac{3}{2},\qquad x\ge \frac{5}{2}.$$
Пересечение условий:
$$x\in \left[\frac{5}{2};+\infty\right).$$
2) $$\sqrt{3x+5}-\frac{1}{\sqrt{15-5x}}$$
Требуется:
$$3x+5\ge 0,\qquad 15-5x>0.$$
Отсюда:
$$x\ge -\frac{5}{3},\qquad x<3.$$
Пересечение условий:
$$x\in \left[-\frac{5}{3};3\right).$$
3) $$\sqrt{2x-4}+\sqrt{1-x}$$
Требуется:
$$2x-4\ge 0,\qquad 1-x\ge 0.$$
Отсюда:
$$x\ge 2,\qquad x\le 1.$$
Общих значений нет, значит область определения пуста:
$$\varnothing.$$
4) $$\sqrt{12-3x}-\frac{5}{x-4}$$
Требуется:
$$12-3x\ge 0,\qquad x-4\ne 0.$$
Отсюда:
$$x\le 4,\qquad x\ne 4.$$
Значит,
$$x\in (-\infty;4).$$
Ответ
1) $$\sqrt{2}+1$$; 2) $$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$; 3) $$\frac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$.
Область определения: 1) $$x\in \left[\frac{5}{2};+\infty\right)$$; 2) $$x\in \left[-\frac{5}{3};3\right)$$; 3) $$\varnothing$$; 4) $$x\in (-\infty;4)$$.
