Упр.195 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+6x-2=0$$. Найдите значение выражения $$(x_1)^2+(x_2)^2$$.
2. Сколько целых решений имеет система неравенств:
   
   1) $$\begin{cases}4x+3\geq6x-7,\\3(x+8)\geq4(8-x);\end{cases}$$
   
   2) $$\begin{cases}x-\frac{x+1}{3}-\frac{x-2}{6}<2,\\\frac{2x-5}{3}\geq-3?\end{cases}$$

1) Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+6x-2=0$$. Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2=-6,\qquad x_1x_2=-2.$$

Найдём сумму квадратов корней:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$

$$x_1^2+x_2^2=(-6)^2-2\cdot(-2)=36+4=40.$$

2) Решим первую систему неравенств:

$$\begin{cases} 4x+3 \ge 6x-7,\\ 3(x+8)\ge 4(8-x). \end{cases}$$

Из первого неравенства:

$$4x+3 \ge 6x-7 \\ -2x \ge -10 \\ x \le 5.$$

Из второго неравенства:

$$3x+24 \ge 32-4x \\ 7x \ge 8 \\ x \ge \frac{8}{7}.$$

Тогда

$$x \in \left[\frac{8}{7};\,5\right].$$

Целые решения: $$2,3,4,5$$. Их $$4$$.

3) Решим вторую систему неравенств:

$$\begin{cases} x-\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{x-2}{6}<2,\\ \dfrac{2x-5}{3}\ge -3. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$6x-2(x+1)-(x-2)<12 \\ 6x-2x-2-x+2<12 \\ 3x<12 \\ x<4.$$

Второе неравенство:

$$2x-5\ge -9 \\ 2x\ge -4 \\ x\ge -2.$$

Следовательно,

$$x\in[-2;\,4).$$

Целые решения: $$-2,-1,0,1,2,3$$. Их $$6$$.

Ответ

1) $$40$$; 2) $$4$$; 3) $$6$$.