Упр.194 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство:
   1) $$\left(a-8\right)\left(a+7\right)<\left(a-4\right)\left(a+3\right)$$; 2) $$a^2+b^2-6a+12b+45?0$$.
2. Найдите целые решения системы неравенств:
   1) $$\begin{cases}2x-1<1{,}7-x,\\3x-2\geq x-8;\end{cases}$$ 2) $$\begin{cases}\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{4}<1,\\2x-\dfrac{x}{2}\geq10.\end{cases}$$

1. Докажем неравенство

   $$(a-8)(a+7)<(a-4)(a+3).$$

   Раскроем скобки:

   $$a^2-a-56<a^2-a-12.$$

   После сокращения одинаковых слагаемых получаем:

   $$-56<-12.$$

   Это верно, значит, неравенство доказано.

2. Докажем неравенство

   $$a^2+b^2-6a+12b+45\ge 0.$$

   Выделим полные квадраты:

   $$a^2-6a+9+b^2+12b+36\ge 0$$

   $$(a-3)^2+(b+6)^2\ge 0.$$

   Сумма квадратов неотрицательна при любых значениях $$a$$ и $$b$$, значит, неравенство верно.

3. Найдём целые решения системы

   $$\begin{cases} 2x-1<1{,}7-x,\\ 3x-2\ge x-8. \end{cases}$$

   Первое неравенство:

   $$3x<2{,}7,\quad x<0{,}9.$$

   Второе неравенство:

   $$2x\ge -6,\quad x\ge -3.$$

   Тогда

   $$x\in[-3;0{,}9).$$

   Целые решения: $$-3,\,-2,\,-1,\,0.$$

4. Найдём целые решения системы

   $$\begin{cases} \dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{4}<1,\\ 2x-\dfrac{x}{2}\ge 10. \end{cases}$$

   Первое неравенство:

   $$\dfrac{4x-3x}{12}<1,\quad x<12.$$

   Второе неравенство:

   $$4x-x\ge 20,\quad 3x\ge 20,\quad x\ge \dfrac{20}{3}.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left[\dfrac{20}{3};12\right).$$

   Целые решения: $$7,\,8,\,9,\,10,\,11.$$

Ответ

1) неравенство верно; 2) неравенство верно; 3) $$-3,\,-2,\,-1,\,0$$; 4) $$7,\,8,\,9,\,10,\,11$$.