Упр.194 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) (a-8)(a+7)<(a-4)(a+3); 2) a^2+b^2-6a+12b+45?0. Найдите целые решения системы неравенств: 1) система 2х - 1 < 1,7 - х, Зх - 2 >= х — 8;
2) система
х/3 — х/4 < 1. 2х - x/2 >= 10.

1. Докажем неравенство

   $$ (a-8)(a+7)<(a-4)(a+3). $$

   Раскроем скобки:

   $$ a^2-a-56<a^2-a-12. $$

   После сокращения одинаковых слагаемых получаем:

   $$ -56<-12. $$

   Это верно, значит, неравенство доказано.

2. Докажем неравенство

   $$ a^2+b^2-6a+12b+45\ge 0. $$

   Выделим полные квадраты:

   $$ a^2-6a+9+b^2+12b+36\ge 0 $$

   $$ (a-3)^2+(b+6)^2\ge 0. $$

   Сумма квадратов неотрицательна при любых значениях $a$ и $b$, значит, неравенство верно.

3. Найдём целые решения системы

   $$ \begin{cases} 2x-1<1{,}7-x,\\ 3x-2\ge x-8. \end{cases} $$

   Первое неравенство:

   $$ 3x<2{,}7,\quad x<0{,}9. $$

   Второе неравенство:

   $$ 2x\ge -6,\quad x\ge -3. $$

   Тогда

   $$ x\in[-3;0{,}9). $$

   Целые решения: $$-3,\,-2,\,-1,\,0.$$

4. Найдём целые решения системы

   $$ \begin{cases} \dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{4}<1,\\ 2x-\dfrac{x}{2}\ge 10. \end{cases} $$

   Первое неравенство:

   $$ \dfrac{4x-3x}{12}<1,\quad x<12. $$

   Второе неравенство:

   $$ 4x-x\ge 20,\quad 3x\ge 20,\quad x\ge \dfrac{20}{3}. $$

   Следовательно,

   $$ x\in\left[\dfrac{20}{3};12\right). $$

   Целые решения: $$7,\,8,\,9,\,10,\,11.$$

Ответ

1) неравенство верно; 2) неравенство верно; 3) $$-3,\,-2,\,-1,\,0$$; 4) $$7,\,8,\,9,\,10,\,11$$.