Упр.192 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Докажите, что значение выражения $$25^{10}-5^{17}$$ кратно числу $$31$$.
- Решите систему неравенств: 1) $$\begin{cases}8(2-x)-2x>3,\\3(6x-1)-x<2x.\end{cases}$$
1) Докажем кратность числа $$31$$:
$$25^{10}-5^{17}=(5^2)^{10}-5^{17}=5^{20}-5^{17}=5^{17}(5^3-1)=5^{17}(125-1)=5^{17}\cdot124.$$
Так как $$124=31\cdot4,$$ то
$$25^{10}-5^{17}=5^{17}\cdot31\cdot4,$$
значит, выражение кратно $$31$$.
2) Решим систему неравенств:
$$\begin{cases} 8(2-x)-2x>3,\\ -3(6x-1)-x<2x. \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$16-8x-2x>3;$$
$$-10x>-13;$$
$$x<\frac{13}{10}=1{,}3.$$
Второе неравенство:
$$-18x+3-x<2x;$$
$$-21x<-3;$$
$$x>\frac{1}{7}.$$
Пересечение решений:
$$x\in\left(\frac{1}{7};\,1{,}3\right).$$
3) Решим систему:
$$\begin{cases} \dfrac{x+1}{4}-\dfrac{2x+3}{3}>1,\\ 6(2x-1)<5(x-4)-7. \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$3(x+1)-4(2x+3)>12;$$
$$3x+3-8x-12>12;$$
$$-5x>21;$$
$$x<-\frac{21}{5}.$$
Второе неравенство:
$$12x-6<5x-20-7;$$
$$7x<-21;$$
$$x<-3.$$
Пересечение:
$$x\in\left(-\infty;\,-\frac{21}{5}\right).$$
4) Решим систему:
$$\begin{cases} 2(x-3)\le 3x+4(x+1),\\ (x-3)(x+3)\le (x-4)^2-1. \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$2x-6\le 3x+4x+4;$$
$$-5x\le 10;$$
$$x\ge -2.$$
Второе неравенство:
$$x^2-9\le x^2-8x+16-1;$$
$$8x\le 24;$$
$$x\le 3.$$
Пересечение:
$$x\in[-2;\,3].$$
5) Решим систему:
$$\begin{cases} 2x-\dfrac{x+1}{2}\le \dfrac{x+1}{3},\\ (x+5)(x-3)+41\ge (x-6)^2. \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$12x-3(x+1)\le 2(x+1);$$
$$12x-3x-3\le 2x+2;$$
$$7x\le 5;$$
$$x\le \frac{5}{7}.$$
Второе неравенство:
$$x^2+2x-15+41\ge x^2-12x+36;$$
$$14x\ge 10;$$
$$x\ge \frac{5}{7}.$$
Следовательно,
$$x=\frac{5}{7}.$$
6) Решим систему:
$$\begin{cases} 5x+4\le 2x-8,\\ (x+2)(x-1)\ge (x+3)(x-2). \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$3x\le -12;$$
$$x\le -4.$$
Второе неравенство:
$$x^2+x-2\ge x^2+x-6;$$
$$-2\ge -6,$$
что верно при любом $$x$$.
Значит,
$$x\in(-\infty;\,-4].$$
7) Решим систему:
$$\begin{cases} \dfrac{x+2}{7}<\dfrac{x+1}{4},\\ (x-6)(x+2)+4x<(x-7)(x+7). \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$4(x+2)<7(x+1);$$
$$4x+8<7x+7;$$
$$x>\frac{1}{3}.$$
Второе неравенство:
$$x^2-4x-12+4x<x^2-49;$$
$$-12<-49,$$
что неверно.
Следовательно, решений нет.
8) Решим систему:
$$\begin{cases} \dfrac{6x+1}{6}-\dfrac{5x-1}{5}>-1,\\ 2(x+8)-3(x+2)<5-x. \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$5(6x+1)-6(5x-1)>-30;$$
$$30x+5-30x+6>-30;$$
$$11>-30,$$
что верно при любом $$x$$.
Второе неравенство:
$$2x+16-3x-6<5-x;$$
$$10<5,$$
что неверно.
Следовательно, решений нет.
Ответ
1) $$25^{10}-5^{17}$$ кратно $$31$$; 2) $$x\in\left(\frac{1}{7};\,1{,}3\right)$$; 3) $$x\in\left(-\infty;\,-\frac{21}{5}\right)$$; 4) $$x\in[-2;\,3]$$; 5) $$x=\frac{5}{7}$$; 6) $$x\in(-\infty;\,-4]$$; 7) $$\varnothing$$; 8) $$\varnothing$$.
