Упр.192 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) система
8(2 — х) — 2х > 3,
3(6х — 1) — х < 2х;
1) Докажем кратность числа $$31$$:
$$ 25^{10}-5^{17}=(5^2)^{10}-5^{17}=5^{20}-5^{17}=5^{17}(5^3-1)=5^{17}(125-1)=5^{17}\cdot124. $$
Так как $$124=31\cdot4,$$ то
$$ 25^{10}-5^{17}=5^{17}\cdot31\cdot4, $$
значит, выражение кратно $$31$$.
2) Решим систему неравенств:
$$ \begin{cases} 8(2-x)-2x>3,\\ -3(6x-1)-x<2x. \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ 16-8x-2x>3; $$
$$ -10x>-13; $$
$$ x<\frac{13}{10}=1{,}3. $$
Второе неравенство:
$$ -18x+3-x<2x; $$
$$ -21x<-3; $$
$$ x>\frac{1}{7}. $$
Пересечение решений:
$$ x\in\left(\frac{1}{7};\,1{,}3\right). $$
3) Решим систему:
$$ \begin{cases} \dfrac{x+1}{4}-\dfrac{2x+3}{3}>1,\\ 6(2x-1)<5(x-4)-7. \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ 3(x+1)-4(2x+3)>12; $$
$$ 3x+3-8x-12>12; $$
$$ -5x>21; $$
$$ x<-\frac{21}{5}. $$
Второе неравенство:
$$ 12x-6<5x-20-7; $$
$$ 7x<-21; $$
$$ x<-3. $$
Пересечение:
$$ x\in\left(-\infty;\,-\frac{21}{5}\right). $$
4) Решим систему:
$$ \begin{cases} 2(x-3)\le 3x+4(x+1),\\ (x-3)(x+3)\le (x-4)^2-1. \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ 2x-6\le 3x+4x+4; $$
$$ -5x\le 10; $$
$$ x\ge -2. $$
Второе неравенство:
$$ x^2-9\le x^2-8x+16-1; $$
$$ 8x\le 24; $$
$$ x\le 3. $$
Пересечение:
$$ x\in[-2;\,3]. $$
5) Решим систему:
$$ \begin{cases} 2x-\dfrac{x+1}{2}\le \dfrac{x+1}{3},\\ (x+5)(x-3)+41\ge (x-6)^2. \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ 12x-3(x+1)\le 2(x+1); $$
$$ 12x-3x-3\le 2x+2; $$
$$ 7x\le 5; $$
$$ x\le \frac{5}{7}. $$
Второе неравенство:
$$ x^2+2x-15+41\ge x^2-12x+36; $$
$$ 14x\ge 10; $$
$$ x\ge \frac{5}{7}. $$
Следовательно,
$$ x=\frac{5}{7}. $$
6) Решим систему:
$$ \begin{cases} 5x+4\le 2x-8,\\ (x+2)(x-1)\ge (x+3)(x-2). \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ 3x\le -12; $$
$$ x\le -4. $$
Второе неравенство:
$$ x^2+x-2\ge x^2+x-6; $$
$$ -2\ge -6, $$
что верно при любом $$x$$.
Значит,
$$ x\in(-\infty;\,-4]. $$
7) Решим систему:
$$ \begin{cases} \dfrac{x+2}{7}<\dfrac{x+1}{4},\\ (x-6)(x+2)+4x<(x-7)(x+7). \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ 4(x+2)<7(x+1); $$
$$ 4x+8<7x+7; $$
$$ x>\frac{1}{3}. $$
Второе неравенство:
$$ x^2-4x-12+4x<x^2-49; $$
$$ -12<-49, $$
что неверно.
Следовательно, решений нет.
8) Решим систему:
$$ \begin{cases} \dfrac{6x+1}{6}-\dfrac{5x-1}{5}>-1,\\ 2(x+8)-3(x+2)<5-x. \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ 5(6x+1)-6(5x-1)>-30; $$
$$ 30x+5-30x+6>-30; $$
$$ 11>-30, $$
что верно при любом $$x$$.
Второе неравенство:
$$ 2x+16-3x-6<5-x; $$
$$ 10<5, $$
что неверно.
Следовательно, решений нет.
Ответ
1) $$25^{10}-5^{17}$$ кратно $$31$$; 2) $$x\in\left(\frac{1}{7};\,1{,}3\right)$$; 3) $$x\in\left(-\infty;\,-\frac{21}{5}\right)$$; 4) $$x\in[-2;\,3]$$; 5) $$x=\frac{5}{7}$$; 6) $$x\in(-\infty;\,-4]$$; 7) $$\varnothing$$; 8) $$\varnothing$$.
