Упр.191 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {x^2+y^2=a, |y|=1}; 2) {x^2+y^2=a^2, xy=4}? Найдите наибольшее целое решение системы неравенств
система
2х + 1 < -4, Зх - 6 <= -12.

Подробный ответ

1) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} x^2+y^2=a,\\ |y|=1. \end{cases} $$

Из условия $$|y|=1$$ получаем $$y^2=1$$. Тогда первое уравнение принимает вид

$$x^2+1=a,$$

то есть

$$x^2=a-1.$$

Число решений зависит от знака правой части:

если $$a<1,$$ решений нет;
если $$a=1,$$ то $$x=0,$$ и с учётом $$y=\pm1$$ получаем 2 решения;
если $$a>1,$$ то уравнение $$x^2=a-1$$ имеет 2 значения $$x,$$ а для каждого из них есть 2 значения $$y,$$ значит всего 4 решения.

2) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ xy=4. \end{cases} $$

Так как $$xy=4,$$ то числа $$x$$ и $$y$$ одного знака. Обозначим $$t=x+y.$$ Тогда

$$ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=t^2-8. $$

Следовательно,

$$t^2-8=a^2,$$

или

$$t^2=a^2+8.$$

Для существования решений нужно, чтобы при фиксированном произведении $$xy=4$$ значение $$x^2+y^2$$ было не меньше $$8$$. Минимум суммы квадратов при $$xy=4$$ достигается при $$x=y=2$$ или $$x=y=-2$$ и равен

$$2^2+2^2=8.$$

Значит,

$$a^2\ge 8,$$

то есть

$$|a|\ge 2\sqrt2.$$

Если $$|a|=2\sqrt2,$$ то получается по 2 решения; если $$|a|>2\sqrt2,$$ то 4 решения; если $$|a|<2\sqrt2,$$ решений нет.

3) Найдём наибольшее целое решение системы неравенств

$$ \begin{cases} 2x+1<-4,\\ 3x-6\le -12. \end{cases} $$

Решим каждое неравенство:

$$ 2x<-5,\qquad x<-\frac52; $$

$$ 3x\le -6,\qquad x\le -2. $$

Пересечение решений: