Упр.190 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Сколько решений в зависимости от значения $$a$$ имеет система уравнений:
   
   1) $$\begin{cases} x^2+y^2=a^2, \\ |x|=4; \end{cases}$$
   
   2) $$\begin{cases} y-x=1, \\ xy=a? \end{cases}$$
2. Найдите наименьшее целое решение системы неравенств:
   $$\begin{cases} x+8\geq17, \\ \frac{x}{2}>4{,}5. \end{cases}$$

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ |x|=4. \end{cases}$$

Из уравнения $$|x|=4$$ получаем $$x=4$$ или $$x=-4$$. Тогда из первого уравнения

$$y^2=a^2-16.$$

Чтобы система имела решения, нужно $$a^2-16\ge 0$$, то есть $$|a|\ge 4$$.

Если $$|a|>4$$, то для каждого из двух значений $$x$$ получаем по два значения $$y$$, значит всего 4 решения.

Если $$|a|=4$$, то $$y=0$$, и при $$x=4$$ и $$x=-4$$ получаем 2 решения.

Если $$|a|<4$$, решений нет.

2) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} y-x=1,\\ xy=a. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$y=x+1$$. Подставим во второе:

$$x(x+1)=a,$$

$$x^2+x-a=0.$$

Дискриминант:

$$D=1+4a.$$

Система имеет:

• 2 решения, если $$D>0$$, то есть $$a>-\frac14$$;
• 1 решение, если $$D=0$$, то есть $$a=-\frac14$$;
• 0 решений, если $$D<0$$, то есть $$a<-\frac14$$.

3) Найдём наименьшее целое решение системы неравенств

$$\begin{cases} x+8\ge 17,\\ \frac{x}{2}>4{,}5. \end{cases}$$

Получаем:

$$x\ge 9,\qquad x>9.$$

Значит, $$x>9$$, и наименьшее целое решение равно $$10$$.

Ответ

1) Если $$|a|<4$$, решений нет; если $$|a|=4$$, то 2 решения; если $$|a|>4$$, то 4 решения.
2) Если $$a>-\frac14$$, то 2 решения; если $$a=-\frac14$$, то 1 решение; если $$a<-\frac14$$, то решений нет.
3) $$10$$.