Упр.190 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) {x^2+y^2=a^2, |x|=4}; 2) {y-x=1, xy=a}? Найдите наименьшее целое решение системы неравенств
система
x + 8 >= 17,
x/2 > 4,5.

1) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ |x|=4. \end{cases} $$

Из уравнения $$|x|=4$$ получаем $$x=4$$ или $$x=-4$$. Тогда из первого уравнения

$$ y^2=a^2-16. $$

Чтобы система имела решения, нужно $$a^2-16\ge 0$$, то есть $$|a|\ge 4$$.

Если $$|a|>4$$, то для каждого из двух значений $$x$$ получаем по два значения $$y$$, значит всего 4 решения.

Если $$|a|=4$$, то $$y=0$$, и при $$x=4$$ и $$x=-4$$ получаем 2 решения.

Если $$|a|<4$$, решений нет.

2) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} y-x=1,\\ xy=a. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$y=x+1$$. Подставим во второе:

$$ x(x+1)=a, $$

$$ x^2+x-a=0. $$

Дискриминант:

$$ D=1+4a. $$

Система имеет:

• 2 решения, если $$D>0$$, то есть $$a>-\frac14$$;
• 1 решение, если $$D=0$$, то есть $$a=-\frac14$$;
• 0 решений, если $$D<0$$, то есть $$a<-\frac14$$.

3) Найдём наименьшее целое решение системы неравенств

$$ \begin{cases} x+8\ge 17,\\ \frac{x}{2}>4{,}5. \end{cases} $$

Получаем:

$$ x\ge 9,\qquad x>9. $$

Значит, $$x>9$$, и наименьшее целое решение равно $$10$$.

Ответ

1) Если $$|a|<4$$, решений нет; если $$|a|=4$$, то 2 решения; если $$|a|>4$$, то 4 решения.
2) Если $$a>-\frac14$$, то 2 решения; если $$a=-\frac14$$, то 1 решение; если $$a<-\frac14$$, то решений нет.
3) $$10$$.