Упр.19 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Наносекунда — это одна миллиардная доля секунды. Микропроцессору персонального компьютера требуется в среднем 3 наносекунды, чтобы выполнить одну команду. Как эту величину записывают в стандартном виде:
1. $$3\cdot10^{-6}\ \text{с}$$;
2. $$0{,}3\cdot10^{-9}\ \text{с}$$;
3. $$3\cdot10^{-9}\ \text{с}$$;
4. $$3\cdot10^{-10}\ \text{с}$$?
Как изменится — увеличится или уменьшится — неправильная дробь $$\frac{a}{b}$$, $$a>0$$, $$b>0$$, если её числитель и знаменатель увеличить на одно и то же число?

Подробный ответ

1 наносекунда — это $$10^{-9}$$ секунды, значит

$$3\ \text{нс}=3\cdot 10^{-9}\ \text{с}.$$

Следовательно, верный вариант — 3).

Рассмотрим дробь $$\frac{a}{b}$$, где $$a>0,\ b>0$$, и увеличим числитель и знаменатель на одно и то же число $$c>0$$. Сравним:

$$\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+c)-a(b+c)}{b(b+c)}=\frac{ab+bc-ab-ac}{b(b+c)}=\frac{c(b-a)}{b(b+c)}.$$

Так как дробь неправильная, то $$a\ge b$$. Тогда $$b-a\le 0$$, а значит

$$\frac{c(b-a)}{b(b+c)}\le 0.$$

Следовательно, $$\frac{a+c}{b+c}\le \frac{a}{b}$$, то есть значение дроби уменьшится или останется прежним (если $$a=b$$).