Упр.189 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: При каких значениях k система уравнений {y-x^2=4, y=kx+3} 1) имеет одно решение; 2) имеет два решения; 3) не имеет решений? Сколько целых решений имеет неравенство -3 <= 7х - 5 < 16?

Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} y-x^2=4,\\ y=kx+3. \end{cases} $$

Подставим второе уравнение в первое:

$$ kx+3-x^2=4 $$

$$ x^2-kx+1=0. $$

Число решений системы равно числу корней этого квадратного уравнения. Найдём дискриминант:

$$ D=k^2-4. $$

1) Система имеет одно решение, если $$D=0$$:

$$ k^2-4=0,\quad k^2=4,\quad k=\pm 2. $$

2) Система имеет два решения, если $$D>0$$:

$$ k^2-4>0,\quad (k-2)(k+2)>0, $$

откуда

$$ k<-2 \quad \text{или} \quad k>2. $$

3) Система не имеет решений, если $$D<0$$:

$$ k^2-4<0,\quad (k-2)(k+2)<0, $$

откуда

$$ -2<k<2. $$

Теперь решим неравенство

$$ -3\le 7x-5<16. $$

Прибавим 5 ко всем частям:

$$ 2\le 7x<21. $$

Разделим на 7:

$$ \frac{2}{7}\le x<3. $$

Целые значения $$x$$ на этом промежутке: $$1$$ и $$2$$. Значит, целых решений два.

Ответ

1) $$k=\pm 2$$; 2) $$k<-2$$ или $$k>2$$; 3) $$-2<k<2$$; целых решений неравенства — $$2$$.