Упр.189 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$k$$ система уравнений $$\begin{cases} y-x^2=4, \\ y=kx+3 \end{cases}$$
   1) имеет одно решение;
   2) имеет два решения;
   3) не имеет решений?
2. Сколько целых решений имеет неравенство $$-3\leq 7x-5<16$$?

Рассмотрим систему

$$\begin{cases} y-x^2=4,\\ y=kx+3. \end{cases}$$

Подставим второе уравнение в первое:

$$kx+3-x^2=4$$

$$x^2-kx+1=0.$$

Число решений системы равно числу корней этого квадратного уравнения. Найдём дискриминант:

$$D=k^2-4.$$

1) Система имеет одно решение, если $$D=0$$:

$$k^2-4=0,\quad k^2=4,\quad k=\pm 2.$$

2) Система имеет два решения, если $$D>0$$:

$$k^2-4>0,\quad (k-2)(k+2)>0,$$

откуда

$$k<-2 \quad \text{или} \quad k>2.$$

3) Система не имеет решений, если $$D<0$$:

$$k^2-4<0,\quad (k-2)(k+2)<0,$$

откуда

$$-2<k<2.$$

Теперь решим неравенство

$$-3\le 7x-5<16.$$

Прибавим 5 ко всем частям:

$$2\le 7x<21.$$

Разделим на 7:

$$\frac{2}{7}\le x<3.$$

Целые значения $$x$$ на этом промежутке: $$1$$ и $$2$$. Значит, целых решений два.

Ответ

1) $$k=\pm 2$$; 2) $$k<-2$$ или $$k>2$$; 3) $$-2<k<2$$; целых решений неравенства — $$2$$.