Упр.188 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ система уравнений $$\begin{cases} x^2+y^2=9,\\ x-y=a \end{cases}$$ имеет одно решение?
2. Найдите сумму целых решений системы неравенств $$\begin{cases} x+8\ge 4,\\ 5x+1\le 9. \end{cases}$$

Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^2+y^2=9,\\ x-y=a. \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$y=x-a.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2+(x-a)^2=9$$

$$x^2+x^2-2ax+a^2-9=0$$

$$2x^2-2ax+(a^2-9)=0.$$

Чтобы система имела одно решение, это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D=(-2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-9)=0$$

$$4a^2-8a^2+72=0$$

$$4a^2=72$$

$$a^2=18$$

$$a=\pm 3\sqrt{2}.$$

Теперь найдём сумму целых решений системы неравенств

$$\begin{cases} x+8\ge 4,\\ 5x+1\le 9. \end{cases}$$

Решим каждое неравенство:

$$x\ge -4,$$

$$5x\le 8,\quad x\le \frac{8}{5}.$$

Тогда

$$x\in \left[-4;\frac{8}{5}\right].$$

Целые значения $$x$$:

$$-4,\,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1.$$

Их сумма:

$$-4+(-3)+(-2)+(-1)+0+1=-9.$$

Ответ

$$a=\pm 3\sqrt{2};\quad -9.$$