Упр.187 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) {x^2+10xy+25y^2=49, x-5y=-3}; 3) {x^2+y^2=10, xy=3};
2) {x^2+4xy+4y^2=4x+2y, x+2y=4}; 4) {x^2+25y^2=104, xy=-4}. Сколько целых решений имеет система неравенств
система
2x >= -15,
Зх > -10?
$$x^2+10xy+25y^2=49,$$
$$x-5y=-3.$$Из второго уравнения:
$$x=5y-3.$$
Подставим в первое:
$$(5y-3)^2+10(5y-3)y+25y^2=49,$$
$$100y^2-60y+9=49,$$
$$100y^2-60y-40=0,$$
$$5y^2-3y-2=0.$$$$D= (-3)^2-4\cdot 5\cdot(-2)=9+40=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{3\pm 7}{10}.$$$$y_1=1,\quad y_2=-\frac{2}{5}.$$
Тогда
$$x_1=5\cdot 1-3=2,\quad x_2=5\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)-3=-5.$$$$(-5;\,-\frac{2}{5}),\ (2;\,1).$$
$$x^2+4xy+4y^2=4x+2y,$$
$$x+2y=4.$$Из второго уравнения:
$$x=4-2y.$$
Подставим в первое:
$$(x+2y)^2=4x+2y,$$
$$4^2=4(4-2y)+2y,$$
$$16=16-8y+2y,$$
$$-6y=0,$$
$$y=0.$$Тогда
$$x=4-2\cdot 0=4.$$
$$ (4;\,0). $$
$$x^2+y^2=10,$$
$$xy=3.$$Из второго уравнения:
$$y=\frac{3}{x},\quad x\ne 0.$$
Подставим в первое:
$$x^2+\frac{9}{x^2}=10,$$
$$x^4-10x^2+9=0.$$Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-10t+9=0,$$
$$D=100-36=64,$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2}.$$$$t_1=1,\quad t_2=9.$$
Значит,
$$x=\pm 1 \quad \text{или} \quad x=\pm 3.$$Тогда из $$xy=3$$ получаем соответствующие значения $$y$$:
$$(-1;\,-3),\ (-3;\,-1),\ (1;\,3),\ (3;\,1).$$
$$x^2+25y^2=104,$$
$$xy=-4.$$Из второго уравнения:
$$y=-\frac{4}{x},\quad x\ne 0.$$
Подставим в первое:
$$x^2+\frac{400}{x^2}=104,$$
$$x^4-104x^2+400=0.$$Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-104t+400=0,$$
$$D=104^2-4\cdot 400=9216,$$
$$t_{1,2}=\frac{104\pm 96}{2}.$$$$t_1=4,\quad t_2=100.$$
Значит,
$$x=\pm 2 \quad \text{или} \quad x=\pm 10.$$Тогда из $$xy=-4$$ получаем:
$$(-2;\,2),\ (2;\,-2),\ (-10;\,0{,}4),\ (10;\,-0{,}4).$$
Система неравенств
$$-2x\ge -15,$$
$$3x>-10.$$
$$x\le 7{,}5,$$
$$x>-\frac{10}{3}.$$
Следовательно,
$$x\in\left(-\frac{10}{3};\,7{,}5\right].$$
Целые значения $$x$$:
$$-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7.$$
Ответ: 1) $$(-5;\,-\frac{2}{5}),\ (2;\,1)$$; 2) $$ (4;\,0) $$; 3) $$(-1;\,-3),\ (-3;\,-1),\ (1;\,3),\ (3;\,1)$$; 4) $$(-2;\,2),\ (2;\,-2),\ (-10;\,0{,}4),\ (10;\,-0{,}4)$$; целых решений системы неравенств — $$11$$.
