Упр.186 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) {x^2-12xy+36y^2=36, x+6y=8}; 3) {x^2+y^2=25, xy=12};
2) {y^2-2xy=32, x^2+6xy+9y^2=100}; 4) {9x^2+y^2=10, xy=-1}. Решите неравенство:
1) 2 < x + 10 <= 14;
2) 10 < 4x - 2 < 18;
3) -1,8 <= 1 - 7х <= 36;
4) 1 <= (x + 1)/4 < 1,5.
$$\begin{cases} x^2-12xy+36y^2=36,\\ x+6y=8 \end{cases}$$
Первое уравнение преобразуем к виду:
$$\left(x-6y\right)^2=36.$$
Из второго уравнения:
$$x=8-6y.$$
Подставим в первое:
$$ (8-6y-6y)^2=36 $$
$$ (8-12y)^2=36 $$
$$ 64-192y+144y^2=36 $$
$$ 144y^2-192y+28=0 $$
$$ 36y^2-48y+7=0. $$$$D=48^2-4\cdot 36\cdot 7=1296,$$
поэтому
$$ y_1=\frac{48-36}{72}=\frac16,\qquad y_2=\frac{48+36}{72}=\frac76. $$Тогда
$$ x_1=8-6\cdot \frac16=7,\qquad x_2=8-6\cdot \frac76=1. $$
Ответ: $$(7;\tfrac16),\ (1;\tfrac76).$$
$$\begin{cases} y^2-2xy=32,\\ x^2+6xy+9y^2=100 \end{cases}$$
Второе уравнение:
$$\left(x+3y\right)^2=100,$$
откуда
$$x+3y=10 \quad \text{или} \quad x+3y=-10.$$
1) Если $$x=-3y-10,$$ то
$$ y^2-2y(-3y-10)=32 $$
$$ 7y^2+20y-32=0. $$$$D=20^2+4\cdot 7\cdot 32=1296,$$
поэтому
$$ y_1=-4,\qquad y_2=\frac87. $$Тогда
$$ x_1=2,\qquad x_2=-\frac{94}{7}. $$
2) Если $$x=-3y+10,$$ то
$$ y^2-2y(-3y+10)=32 $$
$$ 7y^2-20y-32=0. $$$$D=20^2+4\cdot 7\cdot 32=1296,$$
поэтому
$$ y_1=-\frac87,\qquad y_2=4. $$Тогда
$$ x_1=\frac{94}{7},\qquad x_2=-2. $$
Ответ: $$(2;-4),\ \left(-\tfrac{94}{7};\tfrac87\right),\ \left(\tfrac{94}{7};-\tfrac87\right),\ (-2;4).$$
$$\begin{cases} x^2+y^2=25,\\ xy=12 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=\frac{12}{x}.$$
Подставим в первое:
$$ x^2+\frac{144}{x^2}=25 $$
$$ x^4-25x^2+144=0. $$Обозначим $$t=x^2.$$ Тогда
$$ t^2-25t+144=0. $$
$$D=25^2-4\cdot 144=49,$$
поэтому
$$ t_1=9,\qquad t_2=16. $$Значит,
$$ x=\pm 3 \quad \text{или} \quad x=\pm 4. $$
Тогда
$$ y=\frac{12}{x} $$
и получаем пары:Ответ: $$( -3;-4),\ (-4;-3),\ (3;4),\ (4;3).$$
$$\begin{cases} 9x^2+y^2=10,\\ xy=-1 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=-\frac1x.$$
Подставим в первое:
$$ 9x^2+\frac1{x^2}=10 $$
$$ 9x^4-10x^2+1=0. $$Обозначим $$t=x^2.$$ Тогда
$$ 9t^2-10t+1=0. $$
$$D=10^2-4\cdot 9=64,$$
поэтому
$$ t_1=1,\qquad t_2=\frac19. $$Следовательно,
$$ x=\pm 1 \quad \text{или} \quad x=\pm \frac13. $$
Из условия $$xy=-1$$ получаем соответствующие значения $$y$$:
$$ (1;-1),\ (-1;1),\ \left(\frac13;-3\right),\ \left(-\frac13;3\right). $$
Ответ: $$(1;-1),\ (-1;1),\ \left(\tfrac13;-3\right),\ \left(-\tfrac13;3\right).$$
$$2<x+10\le 14$$
$$ 2-10<x\le 14-10 $$
$$ -8<x\le 4. $$Ответ: $$x\in(-8;4].$$
$$10<4x-2<18$$
$$ 12<4x<20 $$
$$ 3<x<5. $$Ответ: $$x\in(3;5).$$
$$-1{,}8\le 1-7x\le 36$$
$$ -2{,}8\le -7x\le 35 $$
$$ 0{,}4\ge x\ge -5. $$Запишем в обычном порядке:
Ответ: $$x\in[-5;0{,}4].$$
$$1\le \frac{x+1}{4}<1{,}5$$
$$ 4\le x+1<6 $$
$$ 3\le x<5. $$Ответ: $$x\in[3;5).$$
