Упр.186 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

$$\begin{cases} x^2-12xy+36y^2=36,\\ x+6y=8 \end{cases}$$

Первое уравнение преобразуем к виду:

$$\left(x-6y\right)^2=36.$$

Из второго уравнения:

$$x=8-6y.$$

Подставим в первое:

$$(8-6y-6y)^2=36$$
$$(8-12y)^2=36$$
$$64-192y+144y^2=36$$
$$144y^2-192y+28=0$$
$$36y^2-48y+7=0.$$

$$D=48^2-4\cdot 36\cdot 7=1296,$$
поэтому
$$y_1=\frac{48-36}{72}=\frac16,\qquad y_2=\frac{48+36}{72}=\frac76.$$

Тогда

$$x_1=8-6\cdot \frac16=7,\qquad x_2=8-6\cdot \frac76=1.$$

Ответ: $$(7;\tfrac16),\ (1;\tfrac76).$$

$$\begin{cases} y^2-2xy=32,\\ x^2+6xy+9y^2=100 \end{cases}$$

Второе уравнение:

$$\left(x+3y\right)^2=100,$$

откуда

$$x+3y=10 \quad \text{или} \quad x+3y=-10.$$

1) Если $$x=-3y-10,$$ то

$$y^2-2y(-3y-10)=32$$
$$7y^2+20y-32=0.$$

$$D=20^2+4\cdot 7\cdot 32=1296,$$
поэтому
$$y_1=-4,\qquad y_2=\frac87.$$

Тогда

$$x_1=2,\qquad x_2=-\frac{94}{7}.$$

2) Если $$x=-3y+10,$$ то

$$y^2-2y(-3y+10)=32$$
$$7y^2-20y-32=0.$$

$$D=20^2+4\cdot 7\cdot 32=1296,$$
поэтому
$$y_1=-\frac87,\qquad y_2=4.$$

Тогда

$$x_1=\frac{94}{7},\qquad x_2=-2.$$

Ответ: $$(2;-4),\ \left(-\tfrac{94}{7};\tfrac87\right),\ \left(\tfrac{94}{7};-\tfrac87\right),\ (-2;4).$$

$$\begin{cases} x^2+y^2=25,\\ xy=12 \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$y=\frac{12}{x}.$$

Подставим в первое:

$$x^2+\frac{144}{x^2}=25$$
$$x^4-25x^2+144=0.$$

Обозначим $$t=x^2.$$ Тогда

$$t^2-25t+144=0.$$

$$D=25^2-4\cdot 144=49,$$
поэтому
$$t_1=9,\qquad t_2=16.$$

Значит,

$$x=\pm 3 \quad \text{или} \quad x=\pm 4.$$

Тогда

$$y=\frac{12}{x}$$
и получаем пары:

Ответ: $$( -3;-4),\ (-4;-3),\ (3;4),\ (4;3).$$

$$\begin{cases} 9x^2+y^2=10,\\ xy=-1 \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$y=-\frac1x.$$

Подставим в первое:

$$9x^2+\frac1{x^2}=10$$
$$9x^4-10x^2+1=0.$$

Обозначим $$t=x^2.$$ Тогда

$$9t^2-10t+1=0.$$

$$D=10^2-4\cdot 9=64,$$
поэтому
$$t_1=1,\qquad t_2=\frac19.$$

Следовательно,

$$x=\pm 1 \quad \text{или} \quad x=\pm \frac13.$$

Из условия $$xy=-1$$ получаем соответствующие значения $$y$$:

$$(1;-1),\ (-1;1),\ \left(\frac13;-3\right),\ \left(-\frac13;3\right).$$

Ответ: $$(1;-1),\ (-1;1),\ \left(\tfrac13;-3\right),\ \left(-\tfrac13;3\right).$$

$$2<x+10\le 14$$

$$2-10<x\le 14-10$$
$$-8<x\le 4.$$

Ответ: $$x\in(-8;4].$$

$$10<4x-2<18$$

$$12<4x<20$$
$$3<x<5.$$

Ответ: $$x\in(3;5).$$

$$-1{,}8\le 1-7x\le 36$$

$$-2{,}8\le -7x\le 35$$
$$0{,}4\ge x\ge -5.$$

Запишем в обычном порядке:

Ответ: $$x\in[-5;0{,}4].$$

$$1\le \frac{x+1}{4}<1{,}5$$

$$4\le x+1<6$$
$$3\le x<5.$$

Ответ: $$x\in[3;5).$$