Упр.181 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) {x^3-y^3=56, x-y=2};
2) {5x^2-y^2=-4, xy=3}. Известно, что m < n < k < р. Какой из данных промежутков является пересечением промежутков (m; р) и (n; k): 1) (m; n); 2) (k; р); 3) (n; k); 4) (m; р)?

1. $$x^3-y^3=56,\quad x-y=2$$

   Используем формулу разности кубов:
   $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2).$$

   Тогда
   $$ 2(x^2+xy+y^2)=56, $$
   откуда
   $$ x^2+xy+y^2=28. $$

   Так как $$x-y=2,$$ то
   $$ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2=4. $$
   Вычтем это равенство из предыдущего:
   $$ (x^2+xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=28-4, $$
   $$ 3xy=24,\quad xy=8. $$

   Подставим в уравнение $$x-y=2$$:
   $$ x-\frac{8}{x}=2, $$
   $$ x^2-2x-8=0. $$
   Тогда
   $$ (x-4)(x+2)=0, $$
   $$ x=4 \text{ или } x=-2. $$
   Соответственно,
   $$ y=2 \text{ или } y=-4. $$

   Получаем решения:
   $$ (-2;\,-4),\quad (4;\,2). $$

2. $$5x^2-y^2=-4,\quad xy=3$$

   Из второго уравнения:
   $$ y=\frac{3}{x}. $$
   Подставим в первое:
   $$ 5x^2-\frac{9}{x^2}=-4. $$
   Умножим на $$x^2$$:
   $$ 5x^4+4x^2-9=0. $$

   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$ 5t^2+4t-9=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=4^2-4\cdot 5\cdot(-9)=16+180=196, $$
   $$ t=\frac{-4\pm 14}{10}. $$
   Получаем
   $$ t_1=1,\quad t_2=-\frac{9}{5}. $$
   Так как $$x^2\ge 0,$$ подходит только $$x^2=1,$$ значит
   $$ x=\pm 1. $$

   Тогда
   $$ y=\frac{3}{x}, $$
   откуда
   $$ (1;\,3),\quad (-1;\,-3). $$

3. Так как $$m<n<k<p,$$ то пересечение промежутков $$ (m;\,p) $$ и $$ (n;\,k) $$ равно более узкому промежутку:
   $$ (m;\,p)\cap(n;\,k)=(n;\,k). $$

Ответ

1) $$(-2;\,-4),\ (4;\,2)$$
2) $$(-1;\,-3),\ (1;\,3)$$
3) $$3)\ (n;\,k)$$