Упр.181 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   
   1) $$\begin{cases}x^3-y^3=56,\\x-y=2;\end{cases}$$
   
   2) $$\begin{cases}5x^2-y^2=-4,\\xy=3.\end{cases}$$
2. Известно, что $$m 1) $$(m;n)$$;
   
   2) $$(k;\text{р})$$;
   
   3) $$(n;k)$$;
   
   4) $$(m;\text{р})$$?

1. $$x^3-y^3=56,\quad x-y=2$$

   Используем формулу разности кубов:
   $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2).$$

   Тогда
   $$2(x^2+xy+y^2)=56,$$
   откуда
   $$x^2+xy+y^2=28.$$

   Так как $$x-y=2,$$ то
   $$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=4.$$
   Вычтем это равенство из предыдущего:
   $$(x^2+xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=28-4,$$
   $$3xy=24,\quad xy=8.$$

   Подставим в уравнение $$x-y=2$$:
   $$x-\frac{8}{x}=2,$$
   $$x^2-2x-8=0.$$
   Тогда
   $$(x-4)(x+2)=0,$$
   $$x=4 \text{ или } x=-2.$$
   Соответственно,
   $$y=2 \text{ или } y=-4.$$

   Получаем решения:
   $$(-2;\,-4),\quad (4;\,2).$$

2. $$5x^2-y^2=-4,\quad xy=3$$

   Из второго уравнения:
   $$y=\frac{3}{x}.$$
   Подставим в первое:
   $$5x^2-\frac{9}{x^2}=-4.$$
   Умножим на $$x^2$$:
   $$5x^4+4x^2-9=0.$$

   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$5t^2+4t-9=0.$$
   Найдём корни:
   $$D=4^2-4\cdot 5\cdot(-9)=16+180=196,$$
   $$t=\frac{-4\pm 14}{10}.$$
   Получаем
   $$t_1=1,\quad t_2=-\frac{9}{5}.$$
   Так как $$x^2\ge 0,$$ подходит только $$x^2=1,$$ значит
   $$x=\pm 1.$$

   Тогда
   $$y=\frac{3}{x},$$
   откуда
   $$(1;\,3),\quad (-1;\,-3).$$

3. Так как $$m<n<k<p,$$ то пересечение промежутков $$(m;\,p)$$ и $$(n;\,k)$$ равно более узкому промежутку:
   $$(m;\,p)\cap(n;\,k)=(n;\,k).$$

Ответ

1) $$(-2;\,-4),\ (4;\,2)$$
2) $$(-1;\,-3),\ (1;\,3)$$
3) $$3)\ (n;\,k)$$