Упр.180 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {x^3+y^3=1, x+y=1}; 3) {x^2-y^2=7, xy=12};
2) {x^3-y^3=28, x^2+xy+y^2=7}; 4) {3x^2-2y^2=19, xy=-6}. Известно, что а < b < с < d. Какой из данных промежутков является пересечением промежутков (а; с) и (b; d): 1) (a; d); 2) (b; с); 3) (с; d); 4) (а; b)?

Подробный ответ

$$x^3+y^3=1,\quad x+y=1$$
Используем формулу суммы кубов:
$$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2). $$
Тогда
$$ (x+y)(x^2-xy+y^2)=1. $$
Так как $$x+y=1$$, получаем
$$ x^2-xy+y^2=1. $$
Из
$$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=1 $$
и
$$ x^2-xy+y^2=1 $$
вычтем второе равенство из первого:
$$ 3xy=0,\quad xy=0. $$
Значит, $$x=0$$ или $$y=0$$.

Если $$x=0$$, то $$y=1$$. Если $$y=0$$, то $$x=1$$.

Ответ: $$(0;1),\ (1;0).$$
$$x^3-y^3=28,\quad x^2+xy+y^2=7$$
Используем формулу разности кубов:
$$ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2). $$
Тогда
$$ (x-y)\cdot 7=28,\quad x-y=4. $$
Значит,
$$ y=x-4. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ x^2+x(x-4)+(x-4)^2=7 $$
$$ x^2+x^2-4x+x^2-8x+16=7 $$
$$ 3x^2-12x+9=0 $$
$$ x^2-4x+3=0 $$
$$ (x-1)(x-3)=0. $$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=3$$.

Тогда
$$ y=1-4=-3,\quad y=3-4=-1. $$
Ответ: $$(1;-3),\ (3;-1).$$
$$x^2-y^2=7,\quad xy=12$$
Из второго уравнения:
$$ y=\frac{12}{x}. $$
Подставим в первое:
$$ x^2-\left(\frac{12}{x}\right)^2=7 $$
$$ x^4-7x^2-144=0. $$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$ t^2-7t-144=0. $$
$$ D=49+576=625,\quad \sqrt D=25. $$
$$ t=\frac{7\pm25}{2}. $$
Получаем:
$$ t_1=16,\quad t_2=-9. $$
Так как $$x^2\ge 0$$, берём $$x^2=16$$, значит
$$ x=\pm4. $$
Тогда
$$ y=\frac{12}{x} $$
и
$$ (x,y)=(4,3),\ (-4,-3). $$
Ответ: $$( -4;-3),\ (4;3).$$
$$3x^2-2y^2=19,\quad xy=-6$$
Из второго уравнения:
$$ y=-\frac{6}{x}. $$
Подставим в первое:
$$ 3x^2-2\left(\frac{6}{x}\right)^2=19 $$
$$ 3x^4-19x^2-72=0. $$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$ 3t^2-19t-72=0. $$
$$ D=19^2+4\cdot3\cdot72=361+864=1225,\quad \sqrt D=35. $$
$$ t=\frac{19\pm35}{6}. $$
Получаем:
$$ t_1=9,\quad t_2=-\frac{8}{3}. $$
Так как $$x^2\ge 0$$, берём $$x^2=9$$, значит
$$ x=\pm3. $$
Тогда
$$ y=-\frac{6}{x} $$
и
$$ (x,y)=(-3;2),\ (3;-2). $$
Ответ: $$( -3;2),\ (3;-2).$$