Упр.180 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. $$x^3+y^3=1,\quad x+y=1$$
   Используем формулу суммы кубов:
   $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$
   Тогда
   $$(x+y)(x^2-xy+y^2)=1.$$
   Так как $$x+y=1$$, получаем
   $$x^2-xy+y^2=1.$$
   Из
   $$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=1$$
   и
   $$x^2-xy+y^2=1$$
   вычтем второе равенство из первого:
   $$3xy=0,\quad xy=0.$$
   Значит, $$x=0$$ или $$y=0$$.
   
   Если $$x=0$$, то $$y=1$$. Если $$y=0$$, то $$x=1$$.
   
   Ответ: $$(0;1),\ (1;0).$$
2. $$x^3-y^3=28,\quad x^2+xy+y^2=7$$
   Используем формулу разности кубов:
   $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2).$$
   Тогда
   $$(x-y)\cdot 7=28,\quad x-y=4.$$
   Значит,
   $$y=x-4.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$x^2+x(x-4)+(x-4)^2=7$$
   $$x^2+x^2-4x+x^2-8x+16=7$$
   $$3x^2-12x+9=0$$
   $$x^2-4x+3=0$$
   $$(x-1)(x-3)=0.$$
   Отсюда $$x=1$$ или $$x=3$$.
   
   Тогда
   $$y=1-4=-3,\quad y=3-4=-1.$$
   Ответ: $$(1;-3),\ (3;-1).$$
3. $$x^2-y^2=7,\quad xy=12$$
   Из второго уравнения:
   $$y=\frac{12}{x}.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2-\left(\frac{12}{x}\right)^2=7$$
   $$x^4-7x^2-144=0.$$
   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$t^2-7t-144=0.$$
   $$D=49+576=625,\quad \sqrt D=25.$$
   $$t=\frac{7\pm25}{2}.$$
   Получаем:
   $$t_1=16,\quad t_2=-9.$$
   Так как $$x^2\ge 0$$, берём $$x^2=16$$, значит
   $$x=\pm4.$$
   Тогда
   $$y=\frac{12}{x}$$
   и
   $$(x,y)=(4,3),\ (-4,-3).$$
   Ответ: $$( -4;-3),\ (4;3).$$
4. $$3x^2-2y^2=19,\quad xy=-6$$
   Из второго уравнения:
   $$y=-\frac{6}{x}.$$
   Подставим в первое:
   $$3x^2-2\left(\frac{6}{x}\right)^2=19$$
   $$3x^4-19x^2-72=0.$$
   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$3t^2-19t-72=0.$$
   $$D=19^2+4\cdot3\cdot72=361+864=1225,\quad \sqrt D=35.$$
   $$t=\frac{19\pm35}{6}.$$
   Получаем:
   $$t_1=9,\quad t_2=-\frac{8}{3}.$$
   Так как $$x^2\ge 0$$, берём $$x^2=9$$, значит
   $$x=\pm3.$$
   Тогда
   $$y=-\frac{6}{x}$$
   и
   $$(x,y)=(-3;2),\ (3;-2).$$
   Ответ: $$( -3;2),\ (3;-2).$$

Ответ

1. $$(0;1),\ (1;0)$$
2. $$(1;-3),\ (3;-1)$$
3. $$( -4;-3),\ (4;3)$$
4. $$( -3;2),\ (3;-2)$$

Известно, что $$a<b<c<d$$. Тогда пересечение промежутков $$(a;c)$$ и $$(b;d)$$ равно $$(b;c)$$.

Ответ

$$2)\ (b;c)$$