Упр.178 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) {3(x+y)^2+2(x-2y)^2=5, 2(x-2y)-x-y=1};
2) {y/x+xy=-10, 5y/x-2xy=13};
3) {x^2 y^2+xy=6, 2x-y=3}. Укажите на рисунке 15 изображение множества решений двойного неравенства -4 <= х <= 2.

1. $$\begin{cases} 3(x+y)^2+2(x-2y)^2=5,\\ 2(x-2y)-x-y=1 \end{cases}$$

   Пусть $$a=x+y$$, $$b=x-2y$$. Тогда

   $$\begin{cases} 3a^2+2b^2=5,\\ 2b-a=1 \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$a=2b-1$$. Подставим в первое:

   $$3(2b-1)^2+2b^2=5$$
   $$3(4b^2-4b+1)+2b^2=5$$
   $$14b^2-12b-2=0$$
   $$7b^2-6b-1=0$$

   $$D=(-6)^2-4\cdot 7\cdot(-1)=64$$

   $$b_1=\frac{6-8}{14}=-\frac17,\qquad b_2=\frac{6+8}{14}=1$$

   Если $$b=-\frac17$$, то
   $$a=2\cdot\left(-\frac17\right)-1=-\frac97.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} x+y=-\frac97,\\ x-2y=-\frac17 \end{cases}$$
   Отсюда
   $$x=-\frac{19}{21},\qquad y=-\frac{8}{21}.$$

   Если $$b=1$$, то
   $$a=2\cdot 1-1=1.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} x+y=1,\\ x-2y=1 \end{cases}$$
   Отсюда
   $$x=1,\qquad y=0.$$

2. $$\begin{cases} \dfrac{y}{x}+xy=-10,\\ \dfrac{5y}{x}-2xy=13 \end{cases}$$

   Пусть $$a=\dfrac{y}{x}$$, $$b=xy$$. Тогда

   $$\begin{cases} a+b=-10,\\ 5a-2b=13 \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$a=-10-b$$. Подставим во второе:

   $$5(-10-b)-2b=13$$
   $$-50-7b=13$$
   $$b=-9$$

   Тогда $$a=-1$$, то есть

   $$\frac{y}{x}=-1,\qquad xy=-9.$$

   Из $$\frac{y}{x}=-1$$ получаем $$y=-x$$. Подставим в $$xy=-9$$:

   $$x(-x)=-9$$
   $$x^2=9$$
   $$x=\pm 3$$

   При $$x=-3$$ имеем $$y=3$$, при $$x=3$$ имеем $$y=-3$$.

3. $$\begin{cases} x^2y^2+xy=6,\\ 2x-y=3 \end{cases}$$

   Пусть $$a=xy$$. Тогда

   $$a^2+a=6$$
   $$a^2+a-6=0$$
   $$D=1+24=25$$

   $$a_1=\frac{-1-5}{2}=-3,\qquad a_2=\frac{-1+5}{2}=2$$

   Если $$xy=-3$$, то $$y=-\dfrac{3}{x}$$ и
   $$2x+\frac{3}{x}=3.$$
   После умножения на $$x$$:
   $$2x^2-3x+3=0,$$
   $$D=9-24<0,$$ действительных решений нет.

   Если $$xy=2$$, то $$y=\dfrac{2}{x}$$ и
   $$2x-\frac{2}{x}=3.$$
   После умножения на $$x$$:
   $$2x^2-3x-2=0$$
   $$D=9+16=25$$

   $$x_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{3+5}{4}=2$$

   Тогда
   $$y_1=\frac{2}{-\frac12}=-4,\qquad y_2=\frac{2}{2}=1.$$

4. Множество решений неравенства $$-4\le x\le 2$$:
   $$x\in[-4;2].$$

   На рисунке это отрезок с закрашенными концами в точках $$-4$$ и $$2$$.

Ответ

1) $$\left(-\frac{19}{21};-\frac{8}{21}\right),\ (1;0)$$;
2) $$(-3;3),\ (3;-3)$$;
3) $$\left(-\frac12;-4\right),\ (2;1)$$;
4) $$[-4;2]$$, рисунок 15-г.