Упр.174 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Докажите, что: 1) прямая $$y=-2x-4$$ и график уравнения $$y=6x^2-7x-2$$ не пересекаются; 2) график уравнения $$y=4x^2-3x+6$$ и прямая $$y=x+5$$ имеют одну общую точку, найдите координаты этой точки; 3) окружность $$(x-2)^2+(y+1)^2=4$$ и прямая $$y=2-x$$ имеют две общие точки, найдите координаты этих точек.
- Запишите все целые числа, принадлежащие промежутку: 1) $$[3; 7]$$; 2) $$(2{,}9; 6]$$; 3) $$[-5{,}2; 1)$$; 4) $$(-2; 2)$$.
Найдём точки пересечения прямой $$y=-2x-4$$ и параболы $$y=6x^2-7x-2$$:
$$-2x-4=6x^2-7x-2$$
$$6x^2-5x+2=0$$Дискриминант:
$$D=(-5)^2-4\cdot 6\cdot 2=25-48=-23<0$$
Значит, действительных решений нет, следовательно, графики не пересекаются.
Найдём общую точку графиков $$y=4x^2-3x+6$$ и $$y=x+5$$:
$$x+5=4x^2-3x+6$$
$$4x^2-4x+1=0$$
$$(2x-1)^2=0$$
$$x=\frac12$$Тогда
$$y=x+5=\frac12+5=\frac{11}{2}$$
Общая точка: $$\left(\frac12;\frac{11}{2}\right)$$.
Найдём точки пересечения окружности $$\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=4$$ и прямой $$y=2-x$$:
$$\left(x-2\right)^2+\left(2-x+1\right)^2=4$$
$$\left(x-2\right)^2+\left(3-x\right)^2=4$$
$$x^2-4x+4+x^2-6x+9=4$$
$$2x^2-10x+9=0$$Дискриминант:
$$D=(-10)^2-4\cdot 2\cdot 9=100-72=28$$
$$x=\frac{10\pm\sqrt{28}}{4}=\frac{10\pm 2\sqrt7}{4}=\frac{5\pm\sqrt7}{2}$$
Тогда
$$y=2-x=2-\frac{5\pm\sqrt7}{2}=\frac{-1\mp\sqrt7}{2}$$
Точки пересечения:
$$\left(\frac{5-\sqrt7}{2};\frac{-1+\sqrt7}{2}\right),\ \left(\frac{5+\sqrt7}{2};\frac{-1-\sqrt7}{2}\right)$$
Запишем все целые числа, принадлежащие промежуткам:
- $$[3;7]$$: $$3, 4, 5, 6, 7$$
- $$(2{,}9;6]$$: $$3, 4, 5, 6$$
- $$[-5{,}2;1)$$: $$-5, -4, -3, -2, -1, 0$$
- $$( -2;2)$$: $$-1, 0, 1$$
Ответ
1) Графики не пересекаются; 2) $$\left(\frac12;\frac{11}{2}\right)$$; 3) $$\left(\frac{5-\sqrt7}{2};\frac{-1+\sqrt7}{2}\right)$$, $$\left(\frac{5+\sqrt7}{2};\frac{-1-\sqrt7}{2}\right)$$; 4) $$3, 4, 5, 6, 7$$; $$3, 4, 5, 6$$; $$-5, -4, -3, -2, -1, 0$$; $$-1, 0, 1$$.
