Упр.173 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что прямая $$y-x=3$$ является касательной к окружности $$(x+5)^2+y^2=2$$, найдите координаты точки касания.
2. Изобразите на координатной прямой и запишите промежуток, который задаётся неравенством:
   
   1) $$02) $$\frac{1}{6}3) $$0{,}2\leq x<102$$;
   4) $$-2{,}4\leq x\leq -1$$.

Найдём точку касания, решив систему уравнений прямой и окружности:

$$\begin{cases} y-x=3,\\ (x+5)^2+y^2=2. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$y=x+3.$$

Подставим во второе:

$$(x+5)^2+(x+3)^2=2.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+10x+25+x^2+6x+9=2,$$

$$2x^2+16x+34=2,$$

$$2x^2+16x+32=0,$$

$$x^2+8x+16=0,$$

$$(x+4)^2=0.$$

Отсюда:

$$x=-4,$$

$$y=x+3=-1.$$

Значит, прямая касается окружности в точке $$(-4;\,-1).$$

Теперь запишем промежутки:

1. $$0<x<5 \quad \Rightarrow \quad x\in(0;5).$$

2. $$\frac16<x\le 2\frac17 \quad \Rightarrow \quad x\in\left(\frac16;\,2\frac17\right].$$

3. $$0{,}2\le x<102 \quad \Rightarrow \quad x\in[0{,}2;\,102).$$

4. $$-2{,}4\le x\le -1 \quad \Rightarrow \quad x\in[-2{,}4;\,-1].$$

Ответ

Точка касания: $$(-4;\,-1).$$

1) $$x\in(0;5);$$ 2) $$x\in\left(\frac16;\,2\frac17\right];$$ 3) $$x\in[0{,}2;\,102);$$ 4) $$x\in[-2{,}4;\,-1].$$