Упр.172 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) прямой 3x-y=1 и графика уравнения y=3x^2+8x-3;
2) прямой 2x-y=2 и гиперболы y=4/x;
3) прямой x+y=1 и окружности (x-1)^2+(y+4)^2=16. Изобразите на координатной прямой промежуток:
1) (-3; 4);
2) [-3; 4];
3) [-3; 4);
4) (-3; 4].

Подробный ответ

Найдём точки пересечения прямой $$3x-y=1$$ и параболы $$y=3x^2+8x-3$$.
Из первого уравнения:
$$y=3x-1.$$
Подставим во второе:
$$ 3x-1=3x^2+8x-3 $$
$$ 3x^2+5x-2=0 $$
$$ D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49 $$
$$ x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{6} $$
$$ x_1=-2,\quad x_2=\frac13 $$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$ y_1=3\cdot(-2)-1=-7,\quad y_2=3\cdot\frac13-1=0 $$
Точки пересечения: $$(-2;\,-7)$$ и $$\left(\frac13;\,0\right).$$
Найдём точки пересечения прямой $$2x-y=2$$ и гиперболы $$y=\frac4x$$.
Из первого уравнения:
$$y=2x-2.$$
Подставим во второе:
$$ 2x-2=\frac4x $$
$$ 2x^2-2x=4 $$
$$ x^2-x-2=0 $$
$$ D=1+8=9 $$
$$ x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2} $$
$$ x_1=-1,\quad x_2=2 $$
Тогда:
$$ y_1=\frac4{-1}=-4,\quad y_2=\frac42=2 $$
Точки пересечения: $$(-1;\,-4)$$ и $$(2;\,2).$$
Найдём точки пересечения прямой $$x+y=1$$ и окружности $$(x-1)^2+(y+4)^2=16$$.
Из первого уравнения:
$$y=1-x.$$
Подставим во второе:
$$ (x-1)^2+(1-x+4)^2=16 $$
$$ (x-1)^2+(5-x)^2=16 $$
$$ x^2-2x+1+x^2-10x+25=16 $$
$$ 2x^2-12x+10=0 $$
$$ x^2-6x+5=0 $$
$$ D=36-20=16 $$
$$ x_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2} $$
$$ x_1=1,\quad x_2=5 $$
Тогда:
$$ y_1=1-1=0,\quad y_2=1-5=-4 $$
Точки пересечения: $$(1;\,0)$$ и $$(5;\,-4).$$
Изобразим промежутки на координатной прямой:
- $$(-3;\,4)$$ — между $$-3$$ и $$4$$, обе точки не входят;
- $$[-3;\,4]$$ — между $$-3$$ и $$4$$, обе точки входят;
- $$[-3;\,4)$$ — от $$-3$$ до $$4$$, точка $$-3$$ входит, $$4$$ не входит;
- $$(-3;\,4]$$ — от $$-3$$ до $$4$$, точка $$-3$$ не входит, $$4$$ входит.