Упр.171 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений:
   1) $$\begin{cases}x^2-xy+y^2=63,\\y-x=3;\end{cases}$$
   3) $$\begin{cases}(x-1)(y-2)=2,\\x+y=6;\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}x+2y=1,\\x^2+xy+2y^2=1;\end{cases}$$
   4) $$\begin{cases}5x-2y=3,\\3x^2-8y=-5.\end{cases}$$
2. Решением какой из систем неравенств является число $$-3$$:
   1) система $$x\geqslant -3,\ x\geqslant 6$$;
   2) система $$x<-4,\ x<8$$;
   3) система $$x>-4,\ x<8$$;
   4) система $$x+1>-1,\ x-2<0$$?

1. $$\begin{cases} x^2-xy+y^2=63,\\ y-x=3 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=x+3.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2-x(x+3)+(x+3)^2=63,$$
   $$x^2-x^2-3x+x^2+6x+9=63,$$
   $$x^2+3x-54=0.$$
   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-54)=225,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-3\pm 15}{2}.$$
   Тогда
   $$x_1=-9,\quad x_2=6.$$
   Найдём соответствующие значения $$y$$:
   $$y_1=-9+3=-6,\quad y_2=6+3=9.$$
   Получаем:
   $$(-9;\,-6),\ (6;\,9).$$

2. $$\begin{cases} x+2y=1,\\ x^2+xy+2y^2=1 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x=1-2y.$$
   Подставим во второе:
   $$(1-2y)^2+y(1-2y)+2y^2=1,$$
   $$1-4y+4y^2+y-2y^2+2y^2=1,$$
   $$4y^2-3y=0,$$
   $$y(4y-3)=0.$$
   Тогда
   $$y_1=0,\quad y_2=\frac34.$$
   Найдём $$x$$:
   $$x_1=1-2\cdot 0=1,\quad x_2=1-2\cdot \frac34=-\frac12.$$
   Получаем:
   $$(1;\,0),\ \left(-\frac12;\,\frac34\right).$$

3. $$\begin{cases} (x-1)(y-2)=2,\\ x+y=6 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=6-x.$$
   Подставим в первое:
   $$(x-1)(6-x-2)=2,$$
   $$(x-1)(4-x)=2.$$
   Раскроем скобки:
   $$-x^2+5x-4=2,$$
   $$x^2-5x+6=0,$$
   $$(x-2)(x-3)=0.$$
   Тогда
   $$x_1=2,\quad x_2=3.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y_1=6-2=4,\quad y_2=6-3=3.$$
   Получаем:
   $$(2;\,4),\ (3;\,3).$$

4. $$\begin{cases} 5x-2y=3,\\ 3x^2-8y=-5 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$2y=5x-3,\quad y=\frac{5x-3}{2}.$$
   Подставим во второе:
   $$3x^2-8\cdot \frac{5x-3}{2}=-5,$$
   $$3x^2-4(5x-3)=-5,$$
   $$3x^2-20x+12=-5,$$
   $$3x^2-20x+17=0.$$
   $$D=20^2-4\cdot 3\cdot 17=196,$$
   $$x_{1,2}=\frac{20\pm 14}{6}.$$
   Тогда
   $$x_1=1,\quad x_2=\frac{17}{3}.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y_1=\frac{5\cdot 1-3}{2}=1,\quad y_2=\frac{5\cdot \frac{17}{3}-3}{2}=\frac{38}{3}.$$
   Получаем:
   $$(1;\,1),\ \left(\frac{17}{3};\,\frac{38}{3}\right).$$

Число $$-3$$ является решением только системы

$$\begin{cases} x>-4,\\ x<8 \end{cases}$$

так как $$-4<-3<8$$.

Ответ

1) $$(-9;\,-6),\ (6;\,9)$$;
2) $$(1;\,0),\ \left(-\frac12;\,\frac34\right)$$;
3) $$(2;\,4),\ (3;\,3)$$;
4) $$(1;\,1),\ \left(\frac{17}{3};\,\frac{38}{3}\right)$$;
число $$-3$$ — в системе 3).