Упр.168 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Определите графически количество решений системы уравнений:
1) $$\begin{cases}x^2+y^2=3,\\y=x;\end{cases}$$
2) $$\begin{cases}y=vx,\\x-y=2;\end{cases}$$
3) $$\begin{cases}xy=-6,\\2x-y=3.\end{cases}$$ - Чтобы наполнить бассейн водой через одну трубу, требуется в $$1{,}5$$ раза больше времени, чем для того, чтобы наполнить его через вторую трубу. Если же открыть одновременно обе трубы, то бассейн наполнится за $$6$$ ч. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу отдельно?
$$x^2+y^2=3,\quad y=x.$$
Подставим $$y=x$$ в первое уравнение:
$$x^2+x^2=3$$
$$2x^2=3$$
$$x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$$
Получаем две точки пересечения, значит система имеет 2 решения.
$$y=\sqrt{x},\quad x-y=2.$$
Из второго уравнения:
$$y=x-2.$$
Точка пересечения графиков одна, значит система имеет 1 решение.
$$xy=-6,\quad 2x-y=3.$$
Из второго уравнения:
$$y=2x-3.$$
Подставим в первое:
$$x(2x-3)=-6$$
$$2x^2-3x+6=0.$$
Дискриминант:
$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 6=9-48=-39<0.$$
Действительных решений нет, значит система имеет 0 решений.
Пусть $$x$$ ч — время наполнения бассейна через первую трубу, тогда через вторую трубу он наполняется за $$1{,}5x$$ ч.
Скорости наполнения складываются:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{1{,}5x}=\frac{1}{6}.$$
Решим уравнение:
$$\frac{1}{x}+\frac{2}{3x}=\frac{1}{6}$$
$$\frac{5}{3x}=\frac{1}{6}$$
$$30=3x$$
$$x=10.$$
Тогда
$$1{,}5x=15.$$
Ответ
1) $$2$$; 2) $$1$$; 3) $$0$$; 4) $$10$$ ч и $$15$$ ч.
