Упр.167 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {x-y=3, xy=28};
2) {y-2x^2=2, 3x+y=1};
3) {x^2-2y^2=8, x+y=6}. Сравните значения выражений:
1) Зкорень(98) и 4корень(72);
2) 1/2 корень(68) и 4/3 корень(45);
3) 1/6 корень(108) и 6корень(1/12).

Подробный ответ

$$ \begin{cases} x-y=3,\\ xy=28 \end{cases} $$
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=x-3.$$
Подставим во второе уравнение:
$$ x(x-3)=28 $$
$$ x^2-3x-28=0 $$
$$ D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot(-28)=9+112=121 $$
$$ x_{1,2}=\frac{3\pm 11}{2} $$
$$x_1=-4,\quad x_2=7.$$
Тогда:
$$y_1=-4-3=-7,\quad y_2=7-3=4.$$
$$(-4;\,-7),\ (7;\,4).$$
$$ \begin{cases} y-2x^2=2,\\ 3x+y=1 \end{cases} $$
Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$y=1-3x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$ 1-3x-2x^2=2 $$
$$ 2x^2+3x+1=0 $$
$$ D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1 $$
$$ x_{1,2}=\frac{-3\pm 1}{4} $$
$$x_1=-1,\quad x_2=-\frac12.$$
Тогда:
$$y_1=1-3(-1)=4,\quad y_2=1-3\left(-\frac12\right)=\frac52.$$
$$(-1;\,4),\ \left(-\frac12;\,\frac52\right).$$
$$ \begin{cases} x^2-2y^2=8,\\ x+y=6 \end{cases} $$
Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$y=6-x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$ x^2-2(6-x)^2=8 $$
$$ x^2-2(36-12x+x^2)=8 $$
$$ x^2-72+24x-2x^2=8 $$
$$ x^2-24x+80=0 $$
$$ D=24^2-4\cdot 80=576-320=256 $$
$$ x_{1,2}=\frac{24\pm 16}{2} $$
$$x_1=4,\quad x_2=20.$$
Тогда:
$$y_1=6-4=2,\quad y_2=6-20=-14.$$
$$ (4;\,2),\ (20;\,-14). $$

Ход решения

$$3\sqrt{98}\ \text{и}\ 4\sqrt{72}$$
$$ 3\sqrt{98}=3\sqrt{49\cdot 2}=21\sqrt2 $$
$$ 4\sqrt{72}=4\sqrt{36\cdot 2}=24\sqrt2 $$
Значит, $$3\sqrt{98}<4\sqrt{72}.$$
$$\frac12\sqrt{68}\ \text{и}\ \frac43\sqrt{45}$$
$$ \frac12\sqrt{68}=\frac12\sqrt{4\cdot 17}=\sqrt{17} $$
$$ \frac43\sqrt{45}=\frac43\sqrt{9\cdot 5}=4\sqrt5=\sqrt{80} $$
Так как $$\sqrt{17}<\sqrt{80},$$ то
$$\frac12\sqrt{68}<\frac43\sqrt{45}.$$
$$\frac16\sqrt{108}\ \text{и}\ 6\sqrt{\frac1{12}}$$
$$ \frac16\sqrt{108}=\frac16\sqrt{36\cdot 3}=\sqrt3 $$
$$ 6\sqrt{\frac1{12}}=6\cdot \frac1{\sqrt{12}}=6\cdot \frac1{2\sqrt3}=\sqrt3 $$
Следовательно, $$\frac16\sqrt{108}=6\sqrt{\frac1{12}}.$$