Упр.164 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) {x+y=5, xy=6}; 3) {x^2+y^2=25, xy=-12};
2) {x^2+y^2=4, x+y=2}; 4) {y=|x|, 2y-x=3}. Для каждого значения а решите неравенство:
1) a^2 х <= 0; 2) а + х < 2 - ах; 3) (a + 4)х > 1.

1. $$\begin{cases}x+y=5,\\xy=6.\end{cases}$$

   Из первого уравнения $$y=5-x$$, из второго $$y=\dfrac{6}{x}$$, $$x\ne 0$$.

   Точки пересечения графиков: $$ (2;3),\ (3;2). $$

2. $$\begin{cases}x^2+y^2=4,\\x+y=2.\end{cases}$$

   Это окружность с центром в начале координат и радиусом $$2$$, и прямая $$y=2-x$$.

   Точки пересечения: $$ (0;2),\ (2;0). $$

3. $$\begin{cases}x^2+y^2=25,\\xy=-12.\end{cases}$$

   Из второго уравнения $$y=-\dfrac{12}{x}$$, $$x\ne 0$$.

   Точки пересечения графиков: $$ (-4;3),\ (-3;4),\ (3;-4),\ (4;-3). $$

4. $$\begin{cases}y=|x|,\\2y-x=3.\end{cases}$$

   Из второго уравнения $$y=\dfrac{x+3}{2}$$.

   Решаем по частям:

   если $$x\ge 0$$, то $$y=x$$, значит

   $$x=\dfrac{x+3}{2}\Rightarrow 2x=x+3\Rightarrow x=3,\ y=3;$$

   если $$x<0$$, то $$y=-x$$, значит

   $$-x=\dfrac{x+3}{2}\Rightarrow -2x=x+3\Rightarrow x=-1,\ y=1.$$

   Точки пересечения: $$(-1;1),\ (3;3).$$

Ответ

1. $$ (2;3),\ (3;2) $$
2. $$ (0;2),\ (2;0) $$
3. $$ (-4;3),\ (-3;4),\ (3;-4),\ (4;-3) $$
4. $$ (-1;1),\ (3;3) $$

Ход решения

1. $$a^2x\le 0.$$

   Если $$a\ne 0$$, то $$a^2>0$$, значит

   $$x\le 0.$$

   Если $$a=0$$, то получаем $$0\le 0$$, верно при любом $$x$$.

2. $$a+x<2-ax.$$

   Перенесём всё влево:

   $$x+ax<2-a,$$

   $$x(a+1)<2-a.$$

   Если $$a>-1$$, то

   $$x<\dfrac{2-a}{a+1}.$$

   Если $$a<-1$$, то при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

   $$x>\dfrac{2-a}{a+1}.$$

   Если $$a=-1$$, то получаем $$-1+x<2+x$$, то есть $$-1<2$$, верно при любом $$x$$.

3. $$\left(a+4\right)x>1.$$

   Если $$a>-4$$, то

   $$x>\dfrac{1}{a+4}.$$

   Если $$a<-4$$, то

   $$x<\dfrac{1}{a+4}.$$

   Если $$a=-4$$, то получаем $$0>1$$, что неверно, значит решений нет.

Ответ

1. если $$a\ne 0$$, то $$x\le 0$$; если $$a=0$$, то любое $$x$$;

2. если $$a>-1$$, то $$x<\dfrac{2-a}{a+1}$$; если $$a<-1$$, то $$x>\dfrac{2-a}{a+1}$$; если $$a=-1$$, то любое $$x$$;

3. если $$a>-4$$, то $$x>\dfrac{1}{a+4}$$; если $$a<-4$$, то $$x<\dfrac{1}{a+4}$$; если $$a=-4$$, то решений нет.