Упр.159 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) 4x+y=3; 4) (x-2)^2+y^2=0;
2) 2x-3y=6; 5) (x-3)(y-x)=0;
3) xy=-8; 6) (y-x)/(y^2-1)=0. Найдите все значения а, при которых имеет два различных действительных корня уравнение:
1) ах^2 + 2х — 1 = 0;
2) (а + 1)х^2 — (2а — 3)х + а = 0;
3) (а — 3)х^2 — 2(а — 5)х + a — 2 = 0.
$$4x+y=3$$
Выразим $$y$$:
$$y=3-4x$$
Это прямая.
$$2x-3y=6$$
Выразим $$y$$:
$$y=\frac{2}{3}x-2$$
Это прямая.
$$xy=-8$$
Выразим $$y$$:
$$y=-\frac{8}{x}, \quad x\ne 0$$
Это гипербола.
$$\left(x-2\right)^2+y^2=0$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$x-2=0,\quad y=0$$
Получаем точку $$\left(2;0\right)$$.
$$\left(x-3\right)\left(y-x\right)=0$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
$$x-3=0 \quad \text{или} \quad y-x=0$$
Значит, график состоит из прямых $$x=3$$ и $$y=x$$.
$$\frac{y-x}{y^2-1}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$y-x=0,\quad y^2-1\ne 0$$
Отсюда
$$y=x,\quad y\ne \pm 1$$
График — прямая $$y=x$$ с выколотыми точками $$\left(1;1\right)$$ и $$\left(-1;-1\right)$$.
Найдём значения $$a$$, при которых квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Для этого нужно, чтобы $$D>0$$ и старший коэффициент был ненулевым.
$$ax^2+2x-1=0$$
$$D=2^2-4\cdot a\cdot(-1)=4+4a$$
$$4+4a>0$$
$$a>-1$$
Кроме того, $$a\ne 0$$.
Значит,
$$a\in(-1;0)\cup(0;+\infty)$$
$$\left(a+1\right)x^2-\left(2a-3\right)x+a=0$$
$$D=\left(2a-3\right)^2-4\left(a+1\right)a$$
$$D=4a^2-12a+9-4a^2-4a=9-16a$$
$$9-16a>0$$
$$a<\frac{9}{16}$$
Кроме того, $$a\ne -1$$.
Значит,
$$a\in(-\infty;-1)\cup\left(-1;\frac{9}{16}\right)$$
$$\left(a-3\right)x^2-2\left(a-5\right)x+a-2=0$$
$$D=\left[-2\left(a-5\right)\right]^2-4\left(a-3\right)\left(a-2\right)$$
$$D=4\left(a-5\right)^2-4\left(a-3\right)\left(a-2\right)$$
$$D=4\left(a^2-10a+25-a^2+5a+6\right)$$
$$D=4\left(-5a+31\right)$$
$$-5a+31>0$$
$$a<\frac{31}{5}$$
Кроме того, $$a\ne 3$$.
Значит,
$$a\in(-\infty;3)\cup\left(3;\frac{31}{5}\right)$$
Ответ
1) $$y=3-4x$$; 2) $$y=\frac{2}{3}x-2$$; 3) $$y=-\frac{8}{x},\ x\ne 0$$; 4) $$\left(2;0\right)$$; 5) $$x=3$$ и $$y=x$$; 6) $$y=x,\ y\ne \pm 1$$.
$$a\in(-1;0)\cup(0;+\infty)$$; $$a\in(-\infty;-1)\cup\left(-1;\frac{9}{16}\right)$$; $$a\in(-\infty;3)\cup\left(3;\frac{31}{5}\right)$$.
