Упр.159 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график уравнения: 1) $$4x+y=3$$; 4) $$(x-2)^2+y^2=0$$; 2) $$2x-3y=6$$; 5) $$(x-3)(y-x)=0$$; 3) $$xy=-8$$; 6) $$\frac{y-x}{y^2-1}=0$$.
2. Найдите все значения $$a$$, при которых имеет два различных действительных корня уравнение: 1) $$ax^2+2x-1=0$$; 2) $$(a+1)x^2-(2a-3)x+a=0$$; 3) $$(a-3)x^2-2(a-5)x+a-2=0$$.

1. $$4x+y=3$$

   Выразим $$y$$:

   $$y=3-4x$$

   Это прямая.

2. $$2x-3y=6$$

   Выразим $$y$$:

   $$y=\frac{2}{3}x-2$$

   Это прямая.

3. $$xy=-8$$

   Выразим $$y$$:

   $$y=-\frac{8}{x}, \quad x\ne 0$$

   Это гипербола.

4. $$\left(x-2\right)^2+y^2=0$$

   Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

   $$x-2=0,\quad y=0$$

   Получаем точку $$\left(2;0\right)$$.

5. $$\left(x-3\right)\left(y-x\right)=0$$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

   $$x-3=0 \quad \text{или} \quad y-x=0$$

   Значит, график состоит из прямых $$x=3$$ и $$y=x$$.

6. $$\frac{y-x}{y^2-1}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$y-x=0,\quad y^2-1\ne 0$$

   Отсюда

   $$y=x,\quad y\ne \pm 1$$

   График — прямая $$y=x$$ с выколотыми точками $$\left(1;1\right)$$ и $$\left(-1;-1\right)$$.

Найдём значения $$a$$, при которых квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Для этого нужно, чтобы $$D>0$$ и старший коэффициент был ненулевым.

1. $$ax^2+2x-1=0$$

   $$D=2^2-4\cdot a\cdot(-1)=4+4a$$

   $$4+4a>0$$

   $$a>-1$$

   Кроме того, $$a\ne 0$$.

   Значит,

   $$a\in(-1;0)\cup(0;+\infty)$$

2. $$\left(a+1\right)x^2-\left(2a-3\right)x+a=0$$

   $$D=\left(2a-3\right)^2-4\left(a+1\right)a$$

   $$D=4a^2-12a+9-4a^2-4a=9-16a$$

   $$9-16a>0$$

   $$a<\frac{9}{16}$$

   Кроме того, $$a\ne -1$$.

   Значит,

   $$a\in(-\infty;-1)\cup\left(-1;\frac{9}{16}\right)$$

3. $$\left(a-3\right)x^2-2\left(a-5\right)x+a-2=0$$

   $$D=\left[-2\left(a-5\right)\right]^2-4\left(a-3\right)\left(a-2\right)$$

   $$D=4\left(a-5\right)^2-4\left(a-3\right)\left(a-2\right)$$

   $$D=4\left(a^2-10a+25-a^2+5a+6\right)$$

   $$D=4\left(-5a+31\right)$$

   $$-5a+31>0$$

   $$a<\frac{31}{5}$$

   Кроме того, $$a\ne 3$$.

   Значит,

   $$a\in(-\infty;3)\cup\left(3;\frac{31}{5}\right)$$

Ответ

1) $$y=3-4x$$; 2) $$y=\frac{2}{3}x-2$$; 3) $$y=-\frac{8}{x},\ x\ne 0$$; 4) $$\left(2;0\right)$$; 5) $$x=3$$ и $$y=x$$; 6) $$y=x,\ y\ne \pm 1$$.
$$a\in(-1;0)\cup(0;+\infty)$$; $$a\in(-\infty;-1)\cup\left(-1;\frac{9}{16}\right)$$; $$a\in(-\infty;3)\cup\left(3;\frac{31}{5}\right)$$.