Упр.153 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) x^3-3x^2+6x-8=0; 3) x^3-3x^2+4=0;
2) x^2-6x+9-x^4=0; 4) x^3-3x+2=0. Решите уравнение:
1) |х — 3| + х = 15;
2) |х + 1| — 4х = 14;
3) |3х — 12| — 2х = 1;
4) |х + 2| — х = 1.
$$x^3-3x^2+6x-8=0$$
Проверим корень $$x=2$$:
$$2^3-3\cdot 2^2+6\cdot 2-8=8-12+12-8=0$$
Тогда разложим на множители:
$$x^3-3x^2+6x-8=(x-2)(x^2-x+4)$$
Решаем квадратное уравнение:
$$x^2-x+4=0$$
$$D=1-16=-15<0$$
Значит, действительных корней нет, кроме $$x=2$$.
$$x^2-6x+9-x^4=0$$
$$ (x-3)^2-x^4=0 $$
Это разность квадратов:
$$((x-3)-x^2)((x-3)+x^2)=0$$
$$(-x^2+x-3)(x^2+x-3)=0$$
Первое уравнение:
$$x^2-x+3=0,\quad D=1-12=-11<0$$
Второе уравнение:
$$x^2+x-3=0,\quad D=1+12=13$$
$$x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}$$
$$x^3-3x^2+4=0$$
Проверим корень $$x=2$$:
$$2^3-3\cdot 2^2+4=8-12+4=0$$
Тогда:
$$x^3-3x^2+4=(x-2)(x^2-x-2)$$
$$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$$
Следовательно,
$$ (x-2)^2(x+1)=0 $$
Отсюда $$x=2$$ или $$x=-1$$.
$$x^3-3x+2=0$$
Проверим корень $$x=1$$:
$$1^3-3\cdot 1+2=0$$
Тогда:
$$x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)$$
$$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$$
Следовательно,
$$ (x-1)^2(x+2)=0 $$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=-2$$.
$$|x-3|+x=15$$
$$|x-3|=15-x$$
Чтобы правая часть была неотрицательной, нужно $$x\le 15$$.
Рассмотрим случаи:
1) $$x-3=15-x$$, тогда $$2x=18$$, $$x=9$$.
Проверка: $$9\le 15$$, подходит.
2) $$3-x=15-x$$, тогда $$3=15$$ — неверно.
Значит, $$x=9$$.
$$|x+1|-4x=14$$
$$|x+1|=14+4x$$
Тогда $$14+4x\ge 0$$, то есть $$x\ge -\frac{7}{2}$$.
Рассмотрим случаи:
1) $$x+1=14+4x$$, тогда $$-3x=13$$, $$x=-\frac{13}{3}$$.
Это значение не подходит, так как $$-\frac{13}{3}<-\frac{7}{2}$$.
2) $$-(x+1)=14+4x$$, тогда $$-5x=15$$, $$x=-3$$.
Проверка: $$-3\ge -\frac{7}{2}$$, подходит.
$$|3x-12|-2x=1$$
$$|3x-12|=2x+1$$
Тогда $$2x+1\ge 0$$, то есть $$x\ge -\frac{1}{2}$$.
Рассмотрим случаи:
1) $$3x-12=2x+1$$, тогда $$x=13$$.
2) $$-(3x-12)=2x+1$$, тогда $$-3x+12=2x+1$$, $$5x=11$$, $$x=\frac{11}{5}$$.
Оба значения подходят.
$$|x+2|-x=1$$
$$|x+2|=x+1$$
Тогда $$x+1\ge 0$$, то есть $$x\ge -1$$.
Рассмотрим случаи:
1) $$x+2=x+1$$ — неверно.
2) $$-(x+2)=x+1$$, тогда $$-x-2=x+1$$, $$-2x=3$$, $$x=-\frac{3}{2}$$.
Но $$-\frac{3}{2}<-1$$, значит, это значение не подходит.
Корней нет.
Ответ
1) $$2$$; 2) $$\frac{-1-\sqrt{13}}{2},\ \frac{-1+\sqrt{13}}{2}$$; 3) $$-1,\ 2$$; 4) $$-2,\ 1$$; 5) $$9$$; 6) $$-3$$; 7) $$13,\ \frac{11}{5}$$; 8) корней нет.
