Упр.152 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) x^3-2x^2+2x-1=0; 3) x^3-5x^2+4=0;
2) x^4-x^2-8x-16=0; 4) x^3-6x+5=0. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
1) корень(9 — x) + 10/(х + 3);
2) 6/корень(Зх — 21) + 9/(x^2 — 64)?

Подробный ответ

$$x^3-2x^2+2x-1=0$$
Проверим корень $$x=1$$:
$$1^3-2\cdot 1^2+2\cdot 1-1=0.$$
Тогда разложим на множители:
$$x^3-2x^2+2x-1=(x-1)(x^2-x+1).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$x^2-x+1=0,$$
$$D=1-4=-3<0.$$
Значит, действительных корней у него нет.
Следовательно, $$x=1.$$
$$x^4-x^2-8x-16=0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$x^4-(x^2+8x+16)=0,$$
$$x^4-(x+4)^2=0.$$
Это разность квадратов:
$$\bigl(x^2-(x+4)\bigr)\bigl(x^2+(x+4)\bigr)=0,$$
$$ (x^2-x-4)(x^2+x+4)=0.$$
Решаем первое уравнение:
$$x^2-x-4=0,$$
$$D=1+16=17,$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}.$$
Для второго уравнения:
$$x^2+x+4=0,$$
$$D=1-16=-15<0,$$
действительных корней нет.
Итак, $$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2},\ \frac{1+\sqrt{17}}{2}.$$
$$x^3-5x^2+4=0$$
Проверим корень $$x=1$$:
$$1^3-5\cdot 1^2+4=0.$$
Тогда
$$x^3-5x^2+4=(x-1)(x^2-4x-4).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$x^2-4x-4=0,$$
$$D=16+16=32,$$
$$x=\frac{4\pm\sqrt{32}}{2}=2\pm 2\sqrt{2}.$$
Следовательно, корни уравнения:
$$x=1,\ 2-2\sqrt{2},\ 2+2\sqrt{2}.$$
$$x^3-6x+5=0$$
Проверим корень $$x=1$$:
$$1^3-6\cdot 1+5=0.$$
Тогда
$$x^3-6x+5=(x-1)(x^2+x-5).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$x^2+x-5=0,$$
$$D=1+20=21,$$
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}.$$
Итак, корни:
$$x=1,\ \frac{-1-\sqrt{21}}{2},\ \frac{-1+\sqrt{21}}{2}.$$
$$\sqrt{9-x}+\frac{10}{x+3}$$
Чтобы выражение имело смысл, нужно:
$$9-x\ge 0,$$
$$x+3\ne 0.$$
Отсюда
$$x\le 9,\quad x\ne -3.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;-3)\cup(-3;9].$$
$$\frac{6}{\sqrt{3x-21}}+\frac{9}{x^2-64}$$
Для существования выражения нужно:
$$3x-21>0,$$
так как знаменатель с корнем не должен быть равен нулю, и
$$x^2-64\ne 0.$$
Получаем:
$$x>7,$$
$$x\ne \pm 8.$$
С учётом условия $$x>7$$ исключаем только $$x=8$$.
Следовательно,
$$x\in(7;8)\cup(8;+\infty).$$