Упр.151 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) (x^2-6x)^2+(x^2-6x)-56=0; 3) x^4/(x-2)^2-4x^2/(x-2)-5=0;
2) (x^2+8x+3)(x^2+8x+5)=63; 4) (x+4)/(x-3)-(x-3)/(x+4)=3/2. При каких значениях х определена функция:
1) f(x) = корень(x + 4) + 1/(x — 2);
2) f(х) = корень(24 — 8х) + 6/(х^2 — 16);
з) f(x) = 1/корень(Зх + 9) — 8/(|x| — 2);
4) f(х) = корень(х + 1) + 4/(х^2 — 1).

Подробный ответ

$$\left(x^2-6x\right)^2+\left(x^2-6x\right)-56=0$$
Обозначим $$y=x^2-6x$$. Тогда
$$y^2+y-56=0$$
$$D=1+224=225$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 15}{2}$$
$$y_1=-8,\quad y_2=7$$
1) $$x^2-6x=-8$$
$$x^2-6x+8=0$$
$$D=36-32=4$$
$$x_1=2,\quad x_2=4$$
2) $$x^2-6x=7$$
$$x^2-6x-7=0$$
$$D=36+28=64$$
$$x_1=-1,\quad x_2=7$$
$$\left(x^2+8x+3\right)\left(x^2+8x+5\right)=63$$
Обозначим $$y=x^2+8x$$. Тогда
$$\left(y+3\right)\left(y+5\right)=63$$
$$y^2+8y+15=63$$
$$y^2+8y-48=0$$
$$D=64+192=256$$
$$y_{1,2}=\frac{-8\pm 16}{2}$$
$$y_1=-12,\quad y_2=4$$
1) $$x^2+8x=-12$$
$$x^2+8x+12=0$$
$$D=64-48=16$$
$$x_1=-6,\quad x_2=-2$$
2) $$x^2+8x=4$$
$$x^2+8x-4=0$$
$$D=64+16=80$$
$$x=\frac{-8\pm \sqrt{80}}{2}=-4\pm 2\sqrt{5}$$
$$\frac{x^4}{(x-2)^2}-\frac{4x^2}{x-2}-5=0$$
ОДЗ: $$x\ne 2$$.
Обозначим $$y=\frac{x^2}{x-2}$$. Тогда
$$y^2-4y-5=0$$
$$D=16+20=36$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}$$
$$y_1=-1,\quad y_2=5$$
1) $$\frac{x^2}{x-2}=-1$$
$$x^2=2-x$$
$$x^2+x-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$x_1=-2,\quad x_2=1$$
2) $$\frac{x^2}{x-2}=5$$
$$x^2=5x-10$$
$$x^2-5x+10=0$$
$$D=25-40<0$$
Корней нет.
$$\frac{x+4}{x-3}-\frac{x-3}{x+4}=\frac{3}{2}$$
ОДЗ: $$x\ne 3,\; x\ne -4$$.
Обозначим $$y=\frac{x+4}{x-3}$$. Тогда
$$y-\frac{1}{y}=\frac{3}{2}$$
$$2y^2-3y-2=0$$
$$D=9+16=25$$
$$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$
$$y_1=-\frac{1}{2},\quad y_2=2$$
1) $$\frac{x+4}{x-3}=-\frac{1}{2}$$
$$2(x+4)=-(x-3)$$
$$2x+8=-x+3$$
$$3x=-5,\quad x=-\frac{5}{3}$$
2) $$\frac{x+4}{x-3}=2$$
$$x+4=2(x-3)$$
$$x=10$$

Ответ

1) $$-1,\; 2,\; 4,\; 7$$;

2) $$-6,\; -2,\; -4-2\sqrt{5},\; -4+2\sqrt{5}$$;

3) $$-2,\; 1$$;

4) $$-\frac{5}{3},\; 10$$.

Ход решения

$$f(x)=\sqrt{x+4}+\frac{1}{x-2}$$
Для корня нужно $$x+4\ge 0$$, а для дроби $$x-2\ne 0$$.
Значит, $$x\ge -4,\; x\ne 2$$.
$$f(x)=\sqrt{24-8x}+\frac{6}{x^2-16}$$
Для корня нужно $$24-8x\ge 0$$, то есть $$x\le 3$$.
Для дроби $$x^2-16\ne 0$$, значит $$x\ne \pm 4$$.
Итак, $$x\in (-\infty;-4)\cup(-4;3]$$.
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3x+9}}-\frac{8}{|x|-2}$$
Так как корень стоит в знаменателе, нужно $$3x+9>0$$, то есть $$x>-3$$.
Также $$|x|-2\ne 0$$, значит $$|x|\ne 2$$, то есть $$x\ne \pm 2$$.
Следовательно, $$x\in (-3;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$.
$$f(x)=\sqrt{x+1}+\frac{4}{x^2-1}$$
Для корня нужно $$x+1\ge 0$$, то есть $$x\ge -1$$.
Для дроби $$x^2-1\ne 0$$, значит $$x\ne \pm 1$$.
Итак, $$x\in [-1;1)\cup(1;+\infty)$$.