Упр.150 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) ((2x-1)/x)^2-6(2x-1)/x+5=0;
2) (3x-1)/(x+1)+(x+1)/(3x-1)=3 1/3. Сумма трёх последовательных натуральных чисел, кратных 5, не больше 100.
Какие наибольшие три числа удовлетворяют этому условию?

1. Пусть $$y=\frac{2x-1}{x}.$$ Тогда уравнение принимает вид

   $$y^2-6y+5=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=6^2-4\cdot 5=36-20=16,$$

   $$y_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}.$$

   Получаем:

   $$y_1=1,\qquad y_2=5.$$

   1) Если $$\frac{2x-1}{x}=1,$$ то

   $$2x-1=x,\qquad x=1.$$

   2) Если $$\frac{2x-1}{x}=5,$$ то

   $$2x-1=5x,\qquad -1=3x,\qquad x=-\frac13.$$

   Оба значения подходят, так как $$x\neq 0.$$

2. Пусть $$y=\frac{3x-1}{x+1}.$$ Тогда

   $$y+\frac1y=3\frac13=\frac{10}{3}.$$

   Умножим на $$3y$$:

   $$3y^2+3=10y,$$

   $$3y^2-10y+3=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64,$$

   $$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}.$$

   Получаем:

   $$y_1=\frac13,\qquad y_2=3.$$

   1) Если $$\frac{3x-1}{x+1}=\frac13,$$ то

   $$3(3x-1)=x+1,$$

   $$9x-3=x+1,$$

   $$8x=4,\qquad x=\frac12.$$

   2) Если $$\frac{3x-1}{x+1}=3,$$ то

   $$3x-1=3(x+1),$$

   $$3x-1=3x+3,$$

   что невозможно. Значит, это значение не подходит.

   Проверка ОДЗ: $$x\neq -1,\; x\neq \frac13.$$ Найденное значение $$x=\frac12$$ подходит.

3. Пусть три последовательных натуральных числа, кратных 5, имеют вид

   $$5n,\; 5(n+1),\; 5(n+2).$$

   По условию:

   $$5n+5(n+1)+5(n+2)\le 100.$$

   Тогда

   $$15n+15\le 100,$$

   $$15n\le 85,$$

   $$n\le \frac{85}{15}=\frac{17}{3}.$$

   Наибольшее натуральное $$n=5.$$ Тогда числа:

   $$25,\; 30,\; 35.$$

Ответ

1) $$x=-\frac13,\; 1.$$
2) $$x=\frac12.$$
3) $$25,\; 30,\; 35.$$