Упр.145 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) x^3-2x^2-9x+18=0; 3) x^5-7x^3-x^2+7=0;
2) x^3+4x^2+4x+16=0; 4) 3x^4-2x^3+24x-16=0. Берут четыре последовательных целых числа и составляют разность произведений крайних и средних чисел.
Существуют ли такие четыре последовательных целых числа, для которых эта разность больше нуля?

1. $$x^3-2x^2-9x+18=0$$

   Группируем слагаемые:
   $$x^2(x-2)-9(x-2)=0$$
   $$\left(x^2-9\right)(x-2)=0$$
   $$\left(x-3\right)\left(x+3\right)(x-2)=0$$

   Отсюда
   $$x=-3,\;2,\;3.$$

2. $$x^3+4x^2+4x+16=0$$

   Группируем:
   $$x^2(x+4)+4(x+4)=0$$
   $$\left(x^2+4\right)(x+4)=0$$

   Так как $$x^2+4>0$$ при любом $$x$$, то
   $$x+4=0,\quad x=-4.$$

3. $$x^5-7x^3-x^2+7=0$$

   Группируем:
   $$x^3(x^2-7)-(x^2-7)=0$$
   $$\left(x^3-1\right)\left(x^2-7\right)=0$$
   $$\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x-\sqrt7\right)\left(x+\sqrt7\right)=0$$

   Из действительных корней получаем:
   $$x=-\sqrt7,\;1,\;\sqrt7.$$

4. $$3x^4-2x^3+24x-16=0$$

   Группируем:
   $$x^3(3x-2)+8(3x-2)=0$$
   $$\left(x^3+8\right)(3x-2)=0$$
   $$\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)(3x-2)=0$$

   Так как $$x^2-2x+4>0$$ при любом $$x$$, то
   $$x=-2,\quad x=\frac23.$$

5. Пусть первое число равно $$n$$. Тогда четыре последовательных целых числа:
   $$n,\;n+1,\;n+2,\;n+3.$$

   Разность произведений крайних и средних чисел:
   $$n(n+3)-(n+1)(n+2).$$

   Проверим, может ли она быть больше нуля:
   $$n(n+3)-(n+1)(n+2)>0$$
   $$n^2+3n-(n^2+3n+2)>0$$
   $$-2>0,$$
   что неверно.

   Значит, таких четырёх последовательных целых чисел не существует.

Ответ

1) $$-3,\;2,\;3$$; 2) $$-4$$; 3) $$-\sqrt7,\;1,\;\sqrt7$$; 4) $$-2,\;\frac23$$; таких четырёх последовательных целых чисел не существует.