Упр.141 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$(x+3)^4-3(x+3)^2-4=0$$;
   3) $$(6x-7)^4+4(6x-7)^2+3=0$$;
   2) $$(2x+1)^4-10(2x+1)^2+9=0$$;
   4) $$(x-4)^4+2(x-4)^2-8=0$$.
2. При каких значениях $$y$$ верно равенство:
   1) $$\frac{|y+7|}{y+7}=1$$;
   2) $$\frac{|6-y|}{y-6}=1$$?

1. $$(x+3)^4-3(x+3)^2-4=0$$

   Положим $$y=(x+3)^2$$, тогда получаем:

   $$y^2-3y-4=0$$

   $$D=3^2+4\cdot 4=25$$

   $$y_1=\frac{3-5}{2}=-1,\quad y_2=\frac{3+5}{2}=4$$

   Так как $$y=(x+3)^2\ge 0$$, значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда:

   $$(x+3)^2=4$$

   $$x+3=\pm 2$$

   $$x=-5,\quad x=-1$$

2. $$(2x+1)^4-10(2x+1)^2+9=0$$

   Положим $$y=(2x+1)^2$$, тогда:

   $$y^2-10y+9=0$$

   $$D=10^2-4\cdot 9=64$$

   $$y_1=\frac{10-8}{2}=1,\quad y_2=\frac{10+8}{2}=9$$

   1) $$(2x+1)^2=1$$

   $$2x+1=\pm 1$$

   $$x=-1,\quad x=0$$

   2) $$(2x+1)^2=9$$

   $$2x+1=\pm 3$$

   $$x=-2,\quad x=1$$

3. $$(6x-7)^4+4(6x-7)^2+3=0$$

   Положим $$y=(6x-7)^2$$, тогда:

   $$y^2+4y+3=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=4$$

   $$y_1=\frac{-4-2}{2}=-3,\quad y_2=\frac{-4+2}{2}=-1$$

   Но $$(6x-7)^2\ge 0$$, поэтому оба значения не подходят.

4. $$(x-4)^4+2(x-4)^2-8=0$$

   Положим $$y=(x-4)^2$$, тогда:

   $$y^2+2y-8=0$$

   $$D=2^2+4\cdot 8=36$$

   $$y_1=\frac{-2-6}{2}=-4,\quad y_2=\frac{-2+6}{2}=2$$

   Значение $$y=-4$$ не подходит, а из

   $$(x-4)^2=2$$

   получаем:

   $$x-4=\pm \sqrt{2}$$

   $$x=4-\sqrt{2},\quad x=4+\sqrt{2}$$

5. $$\frac{|y+7|}{y+7}=1$$

   Равенство верно тогда и только тогда, когда знаменатель положителен:

   $$y+7>0$$

   $$y>-7$$

6. $$\frac{|6-y|}{y-6}=1$$

   Так как $$|6-y|=|y-6|$$, равенство возможно только при положительном знаменателе:

   $$y-6>0$$

   $$y>6$$

Ответ

1) $$x=-5,\,-1$$; 2) $$x=-2,\,-1,\,0,\,1$$; 3) корней нет; 4) $$x=4-\sqrt{2},\,4+\sqrt{2}$$; 5) $$y\in(-7;+\infty)$$; 6) $$y\in(6;+\infty)$$.