Упр.140 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   
   1) $$\frac{2y+3}{2y+2}-\frac{y+1}{2y-2}+\frac{1}{y^2-1}=0$$;
   
   2) $$\frac{x-20}{x^2+10x}+\frac{10}{x^2-100}-\frac{5}{x^2-10x}=0$$.
2. При каких значениях $$x$$ верно равенство:
   
   1) $$\lvert x-5\rvert=x-5$$;
   
   2) $$\lvert 2x+14\rvert=-2x-14$$?

1. $$\frac{2y+3}{2y+2}-\frac{y+1}{2y-2}+\frac{1}{y^2-1}=0.$$
   Разложим знаменатели на множители:
   $$2y+2=2(y+1), \quad 2y-2=2(y-1), \quad y^2-1=(y+1)(y-1).$$
   Тогда
   $$\frac{2y+3}{2(y+1)}-\frac{y+1}{2(y-1)}+\frac{1}{(y+1)(y-1)}=0.$$
   Умножим уравнение на $$2(y+1)(y-1)$$:
   $$(2y+3)(y-1)-(y+1)^2+2=0.$$
   Раскроем скобки:
   $$2y^2+y-3-y^2-2y-1+2=0,$$
   $$y^2-y-2=0.$$
   Решим квадратное уравнение:
   $$y^2-y-2=(y-2)(y+1)=0.$$
   Отсюда
   $$y=2 \quad \text{или} \quad y=-1.$$
   Но $$y=-1$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Значит,
   $$y=2.$$

2. $$\frac{x-20}{x^2+10x}+\frac{10}{x^2-100}-\frac{5}{x^2-10x}=0.$$
   Разложим знаменатели:
   $$x^2+10x=x(x+10), \quad x^2-100=(x-10)(x+10), \quad x^2-10x=x(x-10).$$
   Тогда
   $$\frac{x-20}{x(x+10)}+\frac{10}{(x-10)(x+10)}-\frac{5}{x(x-10)}=0.$$
   Умножим на $$x(x+10)(x-10)$$:
   $$(x-20)(x-10)+10x-5(x+10)=0.$$
   Раскроем скобки:
   $$x^2-30x+200+10x-5x-50=0,$$
   $$x^2-25x+150=0.$$
   Разложим на множители:
   $$x^2-25x+150=(x-10)(x-15)=0.$$
   Получаем
   $$x=10 \quad \text{или} \quad x=15.$$
   Проверим область допустимых значений:
   $$x\neq -10,\; x\neq 0,\; x\neq 10.$$
   Значит, подходит только
   $$x=15.$$

3. $$|x-5|=x-5.$$
   Модуль равен выражению внутри него тогда и только тогда, когда
   $$x-5\ge 0,$$
   то есть
   $$x\ge 5.$$
   Следовательно,
   $$x\in[5;+\infty).$$

4. $$|2x+14|=-2x-14.$$
   Чтобы модуль равнялся противоположному выражению, нужно
   $$-2x-14\ge 0,$$
   то есть
   $$2x+14\le 0,$$
   $$x\le -7.$$
   Следовательно,
   $$x\in(-\infty;-7].$$

Ответ

1) $$y=2$$;
2) $$x=15$$;
3) $$x\in[5;+\infty)$$;
4) $$x\in(-\infty;-7]$$.