Упр.14 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) [5; 6]; 2) [6; 7]; 3) [7; 8]; 4) [8; 9]? Докажите, что:
1) ab(b — а) <= а^3 - b^3, если а >= b;
2) (a — 1)/2 — (a — 2)/3 > 1/2, если a > 2.

1) Сравним число $$\sqrt{57}$$ с соседними целыми числами:

$$49<57<64,$$

так как $$49=7^2$$ и $$64=8^2,$$ то

$$7<\sqrt{57}<8.$$

Значит, $$\sqrt{57}\in[7;8].$$

Ответ: 3.

2) Докажем неравенство $$ab(b-a)\le a^3-b^3$$ при $$a\ge b.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ab(b-a)-a^3+b^3\le 0.$$

Сгруппируем и разложим на множители:

$$ab(b-a)-a^3+b^3=(b-a)(ab+a^2+ab+b^2)$$

$$=(b-a)(a^2+2ab+b^2)=(b-a)(a+b)^2.$$

Так как $$a\ge b,$$ то $$b-a\le 0,$$ а $$\left(a+b\right)^2\ge 0.$$ Следовательно,

$$\left(b-a\right)\left(a+b\right)^2\le 0,$$

что и требовалось доказать.

3) Докажем неравенство $$\frac{a-1}{2}-\frac{a-2}{3}>\frac12$$ при $$a>2.$$

Умножим обе части на $$6$$:

$$3(a-1)-2(a-2)>3.$$

Раскроем скобки:

$$3a-3-2a+4>3,$$

$$a+1>3,$$

$$a>2.$$

Это верно по условию, значит неравенство доказано.

Ответ

$$\sqrt{57}\in[7;8],$$ 3); $$ab(b-a)\le a^3-b^3$$ при $$a\ge b$$; $$\frac{a-1}{2}-\frac{a-2}{3}>\frac12$$ при $$a>2$$.