Упр.139 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) 48/(14-x)-48/(14+x)=1; 3) (4x-10)/(x-1)+(x+6)/(x+1)=4;
2) (x-1)/(x+2)+x/(x-2)=8/(x^2-4); 4) 4/(x^2-10x+25)-1/(x+5)=10/(x^2-25). Сколько натуральных решений имеет неравенство
(2 — 3x)/4 >= 1/5 — (5x + 6)/8?

1. $$\frac{48}{14-x}-\frac{48}{14+x}=1$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$48(14+x)-48(14-x)=196-x^2$$
   $$672+48x-672+48x=196-x^2$$
   $$96x=196-x^2$$
   $$x^2+96x-196=0$$

   $$D=96^2+4\cdot 196=10000$$
   $$x_{1,2}=\frac{-96\pm 100}{2}$$
   $$x_1=-98,\quad x_2=2$$

   ОДЗ: $$x\neq -14,\; x\neq 14$$. Оба корня подходят.

   Ответ: $$-98,\;2$$

2. $$\frac{x-1}{x+2}+\frac{x}{x-2}=\frac{8}{x^2-4}$$

   Так как $$x^2-4=(x-2)(x+2)$$, умножим уравнение на $$x^2-4$$:
   $$ (x-1)(x-2)+x(x+2)=8 $$
   $$ x^2-x-2+x^2+2x=8 $$
   $$ 2x^2+x-10=0 $$

   $$D=1+80=81$$
   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{4}$$
   $$x_1=-\frac{5}{2},\quad x_2=2$$

   ОДЗ: $$x\neq -2,\; x\neq 2$$. Корень $$x=2$$ не подходит.

   Ответ: $$-\frac{5}{2}$$

3. $$\frac{4x-10}{x-1}+\frac{x+6}{x+1}=4$$

   Умножим на $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$:
   $$(4x-10)(x+1)+(x+6)(x-1)=4(x^2-1)$$
   $$4x^2+4x-10x-10+x^2+5x-6=4x^2-4$$
   $$5x^2-x-16=4x^2-4$$
   $$x^2-x-12=0$$
   $$(x-4)(x+3)=0$$
   $$x=4 \text{ или } x=-3$$

   ОДЗ: $$x\neq -1,\; x\neq 1$$. Оба корня подходят.

   Ответ: $$-3,\;4$$

4. $$\frac{4}{x^2-10x+25}-\frac{1}{x+5}=\frac{10}{x^2-25}$$

   Перепишем знаменатели:
   $$\frac{4}{(x-5)^2}-\frac{1}{x+5}=\frac{10}{(x-5)(x+5)}$$

   Умножим на $$ (x-5)^2(x+5) $$:
   $$4(x+5)-(x-5)^2=10(x-5)$$
   $$4x+20-(x^2-10x+25)=10x-50$$
   $$4x+20-x^2+10x-25=10x-50$$
   $$x^2-4x-45=0$$
   $$(x-9)(x+5)=0$$
   $$x=9 \text{ или } x=-5$$

   ОДЗ: $$x\neq 5,\; x\neq -5$$. Подходит только $$x=9$$.

   Ответ: $$9$$

Ответ

1) $$-98,\;2$$; 2) $$-\frac{5}{2}$$; 3) $$-3,\;4$$; 4) $$9$$.

Натуральных решений неравенства:
$$\frac{2-3x}{4}\ge \frac{1}{5}-\frac{5x+6}{8}$$
$$10(2-3x)\ge 8-5(5x+6)$$
$$20-30x\ge 8-25x-30$$
$$5x\le 42$$
$$x\le 8{,}4$$

Натуральные значения $$x$$: $$1,2,3,4,5,6,7,8$$. Их $$8$$.

Ответ: $$8$$.