Упр.135 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Решите уравнение:
1) $$x^4-5x^2+4=0$$;
3) $$x^4-8x^2-9=0$$;
5) $$4x^4-9x^2+2=0$$;
2) $$x^4-5x^2+6=0$$;
4) $$x^4+14x^2-32=0$$;
6) $$3x^4+8x^2-3=0$$. - Найдите множество решений неравенства:
1) $$3(4x+9)+5>7(8-x)$$;
2) $$(2-y)(3+y)\leq(4+y)(6-y)$$;
3) $$(y+3)(y-5)-(y-1)^2>-16$$;
4) $$\frac{3x-7}{5}-1\geq\frac{2x-6}{3}$$;
5) $$\frac{2x}{3}-\frac{x-1}{6}-\frac{x+2}{2}<0$$; 6) $$\frac{y-1}{2}-\frac{2y+1}{8}-y<2$$.
$$x^4-5x^2+4=0$$
Положим $$t=x^2$$, тогда получаем:
$$t^2-5t+4=0$$
$$D=25-16=9$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=4$$
Тогда:
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$$
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$
$$x=-2,\,-1,\,1,\,2$$
$$x^4-5x^2+6=0$$
Пусть $$t=x^2$$. Тогда:
$$t^2-5t+6=0$$
$$D=25-24=1$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}$$
$$t_1=2,\quad t_2=3$$
Следовательно:
$$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$$
$$x^2=3 \Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$$
$$x^4-8x^2-9=0$$
Положим $$t=x^2$$:
$$t^2-8t-9=0$$
$$D=64+36=100$$
$$t_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}$$
$$t_1=-1,\quad t_2=9$$
Так как $$x^2\ge 0$$, значение $$t=-1$$ не подходит. Тогда:
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$
$$x^4+14x^2-32=0$$
Пусть $$t=x^2$$. Тогда:
$$t^2+14t-32=0$$
$$D=196+128=324$$
$$t_{1,2}=\frac{-14\pm 18}{2}$$
$$t_1=-16,\quad t_2=2$$
Подходит только $$t=2$$:
$$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$$
$$4x^4-9x^2+2=0$$
Пусть $$t=x^2$$:
$$4t^2-9t+2=0$$
$$D=81-32=49$$
$$t_{1,2}=\frac{9\pm 7}{8}$$
$$t_1=\frac14,\quad t_2=2$$
Тогда:
$$x^2=\frac14 \Rightarrow x=\pm \frac12$$
$$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$$
$$3x^4+8x^2-3=0$$
Пусть $$t=x^2$$:
$$3t^2+8t-3=0$$
$$D=64+36=100$$
$$t_{1,2}=\frac{-8\pm 10}{6}$$
$$t_1=-3,\quad t_2=\frac13$$
Подходит только $$t=\frac13$$:
$$x^2=\frac13 \Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Ответ
- $$-2;\,-1;\,1;\,2$$
- $$-\sqrt{3};\,-\sqrt{2};\,\sqrt{2};\,\sqrt{3}$$
- $$-3;\,3$$
- $$-\sqrt{2};\,\sqrt{2}$$
- $$-\sqrt{2};\,-\frac12;\,\frac12;\,\sqrt{2}$$
- $$-\frac{\sqrt{3}}{3};\,\frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$3(4x+9)+5>7(8-x)$$
$$12x+27+5>56-7x$$
$$19x>24$$
$$x>\frac{24}{19}$$
$$(2-y)(3+y)\le (4+y)(6-y)$$
$$6+2y-3y-y^2\le 24+2y-y^2$$
$$-3y\le 18$$
$$y\ge -6$$
$$(y+3)(y-5)-(y-1)^2>-16$$
$$y^2-2y-15-(y^2-2y+1)>-16$$
$$-16>-16$$
Это неверно при любом $$y$$, значит решений нет.
$$\frac{3x-7}{5}-1\ge \frac{2x-6}{3}$$
Умножим на $$15$$:
$$3(3x-7)-15\ge 5(2x-6)$$
$$9x-21-15\ge 10x-30$$
$$-x\ge 6$$
$$x\le -6$$
$$\frac{2x}{3}-\frac{x-1}{6}-\frac{x+2}{2}<0$$
Умножим на $$6$$:
$$4x-(x-1)-3(x+2)<0$$
$$4x-x+1-3x-6<0$$
$$-5<0$$
Неравенство верно при любом $$x$$.
$$\frac{y-1}{2}-\frac{2y+1}{8}-y<2$$
Умножим на $$8$$:
$$4(y-1)-(2y+1)-8y<16$$
$$4y-4-2y-1-8y<16$$
$$-6y-5<16$$
$$-6y<21$$
$$y>-\frac{21}{6}=-\frac72$$
Ответ
- $$x\in\left(\frac{24}{19};+\infty\right)$$
- $$y\in[-6;+\infty)$$
- $$\varnothing$$
- $$x\in(-\infty;-6]$$
- $$x\in(-\infty;+\infty)$$
- $$y\in\left(-\frac72;+\infty\right)$$
