Упр.135 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) x^4-5x^2+4=0; 3) x^4-8x^2-9=0; 5) 4x^4-9x^2+2=0;
2) x^4-5x^2+6=0; 4) x^4+14x^2-32=0; 6) 3x^4+8x^2-3=0. Найдите множество решений неравенства:
1) 3(4x + 9) + 5 > 7(8 — x);
2) (2 — y)(3 + y) <= (4 + y)(6 - у); 3) (у + 3)(у - 5) - (y - 1)^2 > -16;
4) (Зх — 7)/5 — 1 >= (2х — 6)/3;
5) 2х/3 — (х — 1)/6 — (x + 2)/2 < 0; 6) (y - 1)/2 - (2y + 1)/8 - y < 2.

1. $$x^4-5x^2+4=0$$

   Положим $$t=x^2$$, тогда получаем:

   $$t^2-5t+4=0$$

   $$D=25-16=9$$

   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$

   $$t_1=1,\quad t_2=4$$

   Тогда:

   $$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$$

   $$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$

   $$x=-2,\,-1,\,1,\,2$$

2. $$x^4-5x^2+6=0$$

   Пусть $$t=x^2$$. Тогда:

   $$t^2-5t+6=0$$

   $$D=25-24=1$$

   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}$$

   $$t_1=2,\quad t_2=3$$

   Следовательно:

   $$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$$

   $$x^2=3 \Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$$

3. $$x^4-8x^2-9=0$$

   Положим $$t=x^2$$:

   $$t^2-8t-9=0$$

   $$D=64+36=100$$

   $$t_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}$$

   $$t_1=-1,\quad t_2=9$$

   Так как $$x^2\ge 0$$, значение $$t=-1$$ не подходит. Тогда:

   $$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$

4. $$x^4+14x^2-32=0$$

   Пусть $$t=x^2$$. Тогда:

   $$t^2+14t-32=0$$

   $$D=196+128=324$$

   $$t_{1,2}=\frac{-14\pm 18}{2}$$

   $$t_1=-16,\quad t_2=2$$

   Подходит только $$t=2$$:

   $$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$$

5. $$4x^4-9x^2+2=0$$

   Пусть $$t=x^2$$:

   $$4t^2-9t+2=0$$

   $$D=81-32=49$$

   $$t_{1,2}=\frac{9\pm 7}{8}$$

   $$t_1=\frac14,\quad t_2=2$$

   Тогда:

   $$x^2=\frac14 \Rightarrow x=\pm \frac12$$

   $$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$$

6. $$3x^4+8x^2-3=0$$

   Пусть $$t=x^2$$:

   $$3t^2+8t-3=0$$

   $$D=64+36=100$$

   $$t_{1,2}=\frac{-8\pm 10}{6}$$

   $$t_1=-3,\quad t_2=\frac13$$

   Подходит только $$t=\frac13$$:

   $$x^2=\frac13 \Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ответ

1. $$-2;\,-1;\,1;\,2$$
2. $$-\sqrt{3};\,-\sqrt{2};\,\sqrt{2};\,\sqrt{3}$$
3. $$-3;\,3$$
4. $$-\sqrt{2};\,\sqrt{2}$$
5. $$-\sqrt{2};\,-\frac12;\,\frac12;\,\sqrt{2}$$
6. $$-\frac{\sqrt{3}}{3};\,\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ход решения

1. $$3(4x+9)+5>7(8-x)$$

   $$12x+27+5>56-7x$$

   $$19x>24$$

   $$x>\frac{24}{19}$$

2. $$(2-y)(3+y)\le (4+y)(6-y)$$

   $$6+2y-3y-y^2\le 24+2y-y^2$$

   $$-3y\le 18$$

   $$y\ge -6$$

3. $$(y+3)(y-5)-(y-1)^2>-16$$

   $$y^2-2y-15-(y^2-2y+1)>-16$$

   $$-16>-16$$

   Это неверно при любом $$y$$, значит решений нет.

4. $$\frac{3x-7}{5}-1\ge \frac{2x-6}{3}$$

   Умножим на $$15$$:

   $$3(3x-7)-15\ge 5(2x-6)$$

   $$9x-21-15\ge 10x-30$$

   $$-x\ge 6$$

   $$x\le -6$$

5. $$\frac{2x}{3}-\frac{x-1}{6}-\frac{x+2}{2}<0$$

   Умножим на $$6$$:

   $$4x-(x-1)-3(x+2)<0$$

   $$4x-x+1-3x-6<0$$

   $$-5<0$$

   Неравенство верно при любом $$x$$.

6. $$\frac{y-1}{2}-\frac{2y+1}{8}-y<2$$

   Умножим на $$8$$:

   $$4(y-1)-(2y+1)-8y<16$$

   $$4y-4-2y-1-8y<16$$

   $$-6y-5<16$$

   $$-6y<21$$

   $$y>-\frac{21}{6}=-\frac72$$

Ответ

1. $$x\in\left(\frac{24}{19};+\infty\right)$$
2. $$y\in[-6;+\infty)$$
3. $$\varnothing$$
4. $$x\in(-\infty;-6]$$
5. $$x\in(-\infty;+\infty)$$
6. $$y\in\left(-\frac72;+\infty\right)$$