Упр.13 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) [0,4; 0,5; 2) [0,5; 0,6]; 3) [0,6; 0,7]; 4) [0,7; 0,8]? Докажите, что:
1) a^3 — 6а^2 + а — 6 >= 0, если a >= 6;
2) ab + 1 > а + b, если а > 1 и b > 1;
3) (a + 3)/3 + (3a — 2)/4 < a, если a < -6.

$$\frac57=0{,}714285\ldots \approx 0{,}71$$

Значит, число $$\frac57$$ принадлежит промежутку $$[0{,}7;0{,}8]$$.

1) Преобразуем выражение:

$$a^3-6a^2+a-6=a^2(a-6)+(a-6)=(a^2+1)(a-6).$$

Если $$a\ge 6$$, то $$a^2+1>0$$ и $$a-6\ge 0$$. Следовательно,

$$\left(a^2+1\right)(a-6)\ge 0,$$

то есть

$$a^3-6a^2+a-6\ge 0.$$

2) Рассмотрим разность:

$$ab+1-a-b=ab-a-b+1=(a-1)(b-1).$$

Так как $$a>1$$ и $$b>1$$, то $$a-1>0$$ и $$b-1>0$$, значит

$$ (a-1)(b-1)>0.$$

Следовательно,

$$ab+1>a+b.$$

3) Умножим неравенство на $$12$$:

$$\frac{a+3}{3}+\frac{3a-2}{4}<a$$

$$4(a+3)+3(3a-2)<12a$$

$$4a+12+9a-6<12a$$

$$a+6<0.$$

Это верно при $$a<-6$$. Значит,

$$\frac{a+3}{3}+\frac{3a-2}{4}<a.$$

Ответ: $$4;\ 1)\ \text{доказано};\ 2)\ \text{доказано};\ 3)\ \text{доказано}.$$