Упр.11 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) -6,4-7·(-2,2); 5) (2,1·4,2)/9,8;
2) (7,8-5,7)/1,4; 6) (2 1/8-11/20):4 1/5;
3) 1,5/(1+1/5); 7) 18·(1/2)^2+15·1/2;
4) 1/(1/14+1/35); 8) -0,9·(-10)^4+3·(-10)^3+84. Докажите неравенство:
1) 2a^2- 8a + 16 > 0;
2) 4b^2 + 4Ь + 3 > 0;
3) а^2 + ab + b^2 >= 0;
4) (3а + 2)(2а — 4) — (2а — 5)^2 > 3(4а — 12);
5) а(а — 3) > 5(а — 4);
6) (а — b)(а + 5b) <= (2а + b)(а + 4b) + ab.

1. $$-6{,}4-7\cdot(-2{,}2)=-6{,}4+15{,}4=9.$$
2. $$\frac{7{,}8-5{,}7}{1{,}4}=\frac{2{,}1}{1{,}4}=\frac{21}{14}=\frac{3}{2}=1{,}5.$$
3. $$\frac{1{,}5}{1+\frac15}=\frac{1{,}5}{\frac65}=1{,}5\cdot\frac56=\frac54=1{,}25.$$
4. $$\frac{1}{\frac1{14}+\frac1{35}}=\frac{1}{\frac{5+2}{70}}=\frac{1}{\frac7{70}}=\frac{1}{\frac1{10}}=10.$$
5. $$\frac{2{,}1\cdot4{,}2}{9{,}8}=\frac{8{,}82}{9{,}8}=0{,}9.$$
6. $$ \left(2\frac18-\frac{11}{20}\right):4\frac15 =\left(\frac{17}{8}-\frac{11}{20}\right):\frac{21}{5} =\frac{85-22}{40}:\frac{21}{5} =\frac{63}{40}\cdot\frac{5}{21} =\frac38. $$
7. $$18\cdot\left(\frac12\right)^2+15\cdot\frac12=18\cdot\frac14+\frac{15}{2}=\frac92+\frac{15}{2}=12.$$
8. $$-0{,}9\cdot(-10)^4+3\cdot(-10)^3+84=-0{,}9\cdot10000+3\cdot(-1000)+84=-9000-3000+84=-11916.$$

Доказательство неравенств

1. $$ 2a^2-8a+16>0 $$
   $$ a^2-4a+8>0 $$
   $$ a^2-4a+4+4>0 $$
   $$ (a-2)^2+4>0. $$
   Следовательно, неравенство верно при любых $a$.
2. $$ 4b^2+4b+3>0 $$
   $$ 4b^2+4b+1+2>0 $$
   $$ (2b+1)^2+2>0. $$
   Следовательно, неравенство верно при любых $b$.
3. $$ a^2+ab+b^2\ge 0. $$
   Так как
   $$ a^2+ab+b^2=\left(a+\frac b2\right)^2+\frac34\,b^2\ge 0, $$
   то неравенство верно при любых $a$ и $b$.
4. $$ (3a+2)(2a-4)-(2a-5)^2>3(4a-12) $$
   $$ 6a^2-12a+4a-8-(4a^2-20a+25)>12a-36 $$
   $$ 2a^2+3>0. $$
   Это верно при любых $a$.
5. $$ a(a-3)>5(a-4) $$
   $$ a^2-3a>5a-20 $$
   $$ a^2-8a+20>0 $$
   $$ a^2-8a+16+4>0 $$
   $$ (a-4)^2+4>0. $$
   Следовательно, неравенство верно при любых $a$.
6. $$ (a-b)(a+5b)\le (2a+b)(a+4b)+ab $$
   $$ a^2+4ab-5b^2\le 2a^2+11ab+4b^2 $$
   $$ 0\le a^2+7ab+9b^2 $$
   $$ a^2+7ab+9b^2=(a+3b)^2+ab. $$
   Но удобнее перенести всё в одну сторону:
   $$ (2a+b)(a+4b)+ab-(a-b)(a+5b)=a^2+7ab+9b^2. $$
   При любых $a$ и $b$ это выражение неотрицательно, значит неравенство верно.

Ответ

1) $9$; 2) $1{,}5$; 3) $1{,}25$; 4) $10$; 5) $0{,}9$; 6) $\frac38$; 7) $12$; 8) $-11916$.
Все неравенства верны при любых допустимых значениях переменных.