Упр.107 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) 8;
2) 9;
3) 8,9;
4) 8,6? Равносильны ли неравенства:
1) 1/x < 1 и х > 1;
2) х^2 >= х и х >= 1;
3) (х + 5)^2 < 0 и |х - 4| < 0; 4) корень(x) <= 0 и х^4 <= 0?

Подробный ответ

Если $$x=8{,}7\pm 0{,}2,$$ то
$$8{,}7-0{,}2 \le x \le 8{,}7+0{,}2,$$
то есть
$$8{,}5 \le x \le 8{,}9.$$
Проверим числа:
$$8 \notin [8{,}5;8{,}9], \quad 9 \notin [8{,}5;8{,}9], \quad 8{,}9 \in [8{,}5;8{,}9], \quad 8{,}6 \in [8{,}5;8{,}9].$$
Значит, точное значение может быть равно $$8{,}9$$ и $$8{,}6,$$ но не может быть равно $$8$$ и $$9.$$
Проверим равносильность неравенств.
1) $$\frac{1}{x}<1$$ и $$x>1.$$
Первое неравенство:
$$ \frac{1}{x}-1<0 \\ \frac{1-x}{x}<0 $$
Решение этого неравенства: $$x<0$$ или $$x>1.$$
Оно не совпадает с решением $$x>1,$$ значит, неравенства неравносильны.
2) $$x^2\ge x$$ и $$x\ge 1.$$
$$ x^2-x\ge 0 \\ x(x-1)\ge 0 $$
Отсюда $$x\le 0$$ или $$x\ge 1.$$
Это не совпадает с $$x\ge 1,$$ значит, неравенства неравносильны.
3) $$(x+5)^2<0$$ и $$|x-4|<0.$$
Оба неравенства не имеют решений, так как квадрат и модуль не могут быть отрицательными:
$$\varnothing \quad \text{и} \quad \varnothing.$$
Следовательно, неравенства равносильны.
4) $$\sqrt{x}\le 0$$ и $$x^4\le 0.$$
Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то из $$\sqrt{x}\le 0$$ получаем $$x=0.$$
Так как $$x^4\ge 0,$$ то из $$x^4\le 0$$ также получаем $$x=0.$$
Следовательно, неравенства равносильны.