Упр.1042 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) 0,(21);
2) 0,2(3);
3) 2,(7);
4) 0,(19);
5) 0,(901);
6) 1,0(7).

1. $$0,(21)=0,21+0,0021+0,000021+\dots$$

   Это бесконечная геометрическая прогрессия, где $$b_1=0,21$$, $$q=0,01$$.

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,21}{1-0,01}=\frac{0,21}{0,99}=\frac{21}{99}=\frac{7}{33}$$

2. $$0,2(3)=0,2+0,03+0,003+\dots$$

   Здесь $$0,2=\frac15$$, а бесконечная часть — геометрическая прогрессия с $$b_1=0,03$$, $$q=0,1$$.

   $$S=\frac15+\frac{0,03}{1-0,1}=\frac15+\frac{0,03}{0,9}=\frac15+\frac{1}{30}=\frac{6}{30}+\frac{1}{30}=\frac{7}{30}$$

3. $$2,(7)=2+0,7+0,07+0,007+\dots$$

   Бесконечная часть имеет $$b_1=0,7$$, $$q=0,1$$.

   $$S=2+\frac{0,7}{1-0,1}=2+\frac{0,7}{0,9}=2+\frac79=\frac{18}{9}+\frac79=\frac{25}{9}$$

4. $$0,(19)=0,19+0,0019+0,000019+\dots$$

   Здесь $$b_1=0,19$$, $$q=0,01$$.

   $$S=\frac{0,19}{1-0,01}=\frac{0,19}{0,99}=\frac{19}{99}$$

5. $$0,(901)=0,901+0,000901+0,000000901+\dots$$

   Это геометрическая прогрессия с $$b_1=0,901$$, $$q=0,001$$.

   $$S=\frac{0,901}{1-0,001}=\frac{0,901}{0,999}=\frac{901}{999}$$

6. $$1,0(7)=1+0,07+0,007+0,0007+\dots$$

   Бесконечная часть имеет $$b_1=0,07$$, $$q=0,1$$.

   $$S=1+\frac{0,07}{1-0,1}=1+\frac{0,07}{0,9}=1+\frac{7}{90}=\frac{90}{90}+\frac{7}{90}=\frac{97}{90}$$

Ответ

$$\frac{7}{33};\ \frac{7}{30};\ \frac{25}{9};\ \frac{19}{99};\ \frac{901}{999};\ \frac{97}{90}$$