Упр.1041 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, если:
   1) сумма прогрессии равна $$4$$, а знаменатель равен $$\frac{1}{2}$$;
   2) сумма прогрессии равна $$\sqrt{2}+1$$, а знаменатель равен $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
   3) сумма прогрессии равна $$\frac{16}{3}$$, а сумма пяти первых членов равна $$5{,}5$$.

Для бесконечной геометрической прогрессии при $$|q|<1$$ сумма равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}, \qquad b_1=S(1-q).$$

1. $$S=4,\quad q=\frac12.$$

   $$b_1=4\left(1-\frac12\right)=4\cdot\frac12=2.$$

2. $$S=\sqrt2+1,\quad q=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   $$b_1=(\sqrt2+1)\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right) =(\sqrt2+1)\cdot\frac{2-\sqrt2}{2} =\frac{(\sqrt2+1)(2-\sqrt2)}{2}.$$

   $$(\sqrt2+1)(2-\sqrt2)=2\sqrt2-2+2-\sqrt2=\sqrt2,$$

   значит

   $$b_1=\frac{\sqrt2}{2}.$$

3. $$S=\frac{16}{3},\quad S_5=5{,}5=\frac{11}{2}.$$

   Используем формулу суммы первых $$n$$ членов:

   $$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}.$$

   Тогда

   $$S_5=S(1-q^5),$$

   то есть

   $$\frac{11}{2}=\frac{16}{3}(1-q^5).$$

   Отсюда

   $$1-q^5=\frac{11}{2}\cdot\frac{3}{16}=\frac{33}{32},$$

   $$q^5=1-\frac{33}{32}=-\frac{1}{32},$$

   значит

   $$q=-\frac12.$$

   Тогда

   $$b_1=S(1-q)=\frac{16}{3}\left(1+\frac12\right)=\frac{16}{3}\cdot\frac32=8.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$\frac{\sqrt2}{2}$$; 3) $$8$$.